numPy 中的意外特征向量

我见过this https://stackoverflow.com/questions/13739186/compute-eigenvector-using-a-dominant-eigenvalue问题，这与我尝试使用 numPy 计算 Python 中的主导特征向量有关。

我正在尝试计算 n x n 矩阵的主特征向量，而不必涉及太多的线性代数。我对行列式、特征值、特征向量和特征多项式进行了粗略的研究，但我更愿意依靠 numPy 实现来查找特征值，因为我相信它比我自己的更有效。

我遇到的问题是我使用了这段代码：

    markov = array([[0.8,0.2],[.1,.9]])

    print eig(markov)

...作为测试，并得到以下输出：

    (array([ 0.7,  1. ]), array([[-0.89442719, -0.70710678],
           [ 0.4472136 , -0.70710678]]))

我对此感到担忧的是，根据佩隆-弗罗贝尼乌斯定理，第二个特征向量的所有分量都应该为正（因为，根据维基百科，“具有正项的实方矩阵具有唯一的最大实特征值，并且相应的特征向量具有严格的正分量”）。

有人知道这是怎么回事吗？ numPy 错了吗？我是否发现 ZFC 中存在不一致之处？或者只是我是线性代数、Python、numPy 或三者组合的菜鸟？

感谢您提供的任何帮助。另外，这是我的第一个 SO 问题（尽管我曾经在 cstheory.se 上很活跃），所以任何有关提高我的问题清晰度的建议也将不胜感激。

你只是误解了eig的回归。根据文档，第二个返回参数是

归一化（单位“长度”）特征向量，使得列 v[:,i] 是对应于特征值 w[i] 的特征向量。

所以特征值对应的特征向量1 is not [ 0.4472136 , -0.70710678], but [-0.70710678, -0.70710678]，可以很容易地验证：

>>> markov.dot([ 0.4472136 , -0.70710678]) # not an eigenvector
array([ 0.21634952, -0.59167474])
>>> markov.dot([-0.70710678, -0.70710678]) # an eigenvector
array([-0.70710678, -0.70710678])