线性系统的矫正方法——PID控制理论学习笔记

主要谈及直流电机的速度PID控制，在智能车中还有方向PID控制（舵机调整方向）。

参考文献
[1] 胡寿松. 自动控制原理[M]. 第六版. 北京:科学出版社, 2015.
[2] 陈伯时. 电力拖动自动控制系统——运动控制系统[M]. 第三版. 北京:机械工业出版社, 2020.
[3] 陈国强, Putra A S. 工业自动化中的驱动与控制[M]. 第1版. 北京:机械工业出版社, 2016.

1为什么要用PID

在理想情况下，小车的速度调节成线性，即当PWM=60%时，小车速度是2M/S；把PWM提高到90%，则小车速度为3M/S；但实际上由于各种因素的影响，往往实际速度和输入速度有误差，因此必须要通过某种算法进行调整，PID控制的意义就在于消除这种误差。

2前置知识

2.1线性系统的稳定性

根据李雅普诺夫稳定性理论，线性系统的稳定性表述为：若线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零，则称系统渐进稳定，简称稳定；若在初始扰动的影响下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。

线性系统的稳定性由系统结构决定，与外界因素无关，这是因为控制系统中一般含有储能元件或惯性元件，不可能突变，因此当受到扰动或有输入量时，控制系统不会立即完成，而是有一定延缓，这就使得被控量恢复期望值或跟踪输入量有一个过渡过程。

系统的稳态误差除了与系统本身结构和参数有关外，还与系统输入信号的形式和大小有关。

2.2控制系统的性能指标

控制系统的性能指标有两种体系：时域指标和频域指标。时域指标分为稳态指标和动态指标。

稳态指标

稳态误差：指时间趋于无穷时（即系统稳定后）输出量与期望输出的偏差。控制系统的稳态误差越小说明控制精度越高。一般要求稳态误差在给定量的2%-5%之间。计算稳态误差以系统稳定为前提。

误差信号e(t)中，包含瞬态分量ets(t)和稳态分量ess(t)，系统必须稳定，当时间趋于无穷时，必有ets(t)趋于0。控制系统的稳态误差定义为误差信号e(t)的稳态分量ess（∞），简记为ess。
系统在多个信号共同作用下总的稳态误差等于多个信号单独作用下的稳态误差之和。

动态指标

动控制系统的动态性能指标包括对给定输入型号的跟随性能指标和对扰动输入信号的抗干扰指标。通常调速系统的动态指标以抗扰性能为主，而随动系统（伺服系统）的动态指标以跟随性能为主。

跟随性能指标
在给定信号或参考输入信号R（t）的作用下，系统输出量C（t)的变化可用跟随性能指标描述。给定信号不同时，输出响应不同，通常以输出量的初始值为零时给定信号阶跃变化下的过渡过程作为典型的跟随过程，此时的输出量动态响应称作阶跃响应。
常用的阶跃响应跟随性能指标见下方时域图。

另外两种类型的时域图。

1. 上升时间：对有振荡系统定义为响应从零第一次上升到终值所需时间。
2. 峰值时间：响应超过其终止到达第一个峰值所需时间。
3. 调节时间：响应到达并保持在稳态值的±5%误差范围内所需的最短时间。
4. 超调量：响应的最大偏离量h与终值之差的百分比。
5. 振荡次数： 在调节时间内，响应曲线穿越稳态值次数的1/2.

抗扰性能指标
控制系统稳定运行中，突加一个使输出量降低的扰动量F后，输出量由降低到恢复的过渡过程是系统典型的抗扰过程。
常用的抗扰性能指标为动态降落和恢复时间。

1. 动态降落： 系统稳定运行时，突加一个约定的标准负扰动量，所引起的输出量最大降落称为动态降落，输出亮在动态降落后逐渐恢复，达到新稳态值C∞2，则原稳态值C∞1与C∞2之差（C∞1-C∞2）是系统在该扰动作用下的稳态误差，即静差。
2. 恢复时间： 从阶跃扰动作用开始，到输出量基本恢复稳态，距新稳态值C∞2之差进入某基准值Cb的±5（±2）范围内所需的时间，定义为恢复时间。

3 PID理论基础

3.1 PID控制原理与参数简述

PID控制的主要过程是通过对被控对象的当前值进行采样，并计算采样值与期望值的偏差，再将这个偏差反馈给PID控制器，从而调整对被控对象的输入（执行器的输出）。这里的偏差指给定量与反馈量之差，可以量测；而我们常说的误差为系统输出的实际值与期望值之差，无法量测，只有数学意义。偏差存在极性，有正偏差和负偏差之分。

PID控制器（比例-积分-微分控制器），由比例单元(Proportion)、积分单元(Integral)和微分单元(Derivative)组成，通过Kp， Ki和Kd三个参数进行设定。
Kp（比例系数）代表了当前的信息，起纠正偏差的作用，使反应迅速；
Kd（微分系数）代表了将来的信息，在过程开始时强迫过程进行，过程结束时减小超调，克服振荡，提高系统的稳定性，加快系统的过渡过程；
Ki（积分系数）代表了过去积累的信息，它能消除静差，改善系统的静态特性。

PID控制器主要适用于线性且动态特性不随时间变化的系统。
当不完全了解一个系统和被控对象或不能通过有效的测量手段来获得系统参数时，最适合采用PID控制技术。

Ki和Kd可以用Ti（积分时间）和Td（微分时间）进行代替，二者含义：
积分时间Ti： 偏差产生后，积分动作的 MV 达到比例动作 MV 所需的时间称为积分时间。

微分时间Td： 偏差产生后，微分动作的 MV 达到比例动作的 MV 所需的时间称为微分时间。

Ki、Kd同Ti、Td的换算关系为：
T i = K p ⋅ T p K i Ti = Kp·\frac{Tp}{Ki} Ti=Kp⋅KiTp​
T d = K p ⋅ K d T p Td = Kp·\frac{Kd}{Tp} Td=Kp⋅TpKd​
可以看到Ti和Ki成反比关系，Ti越大，积分作用越弱；Td和Kd成反比关系，Td越大，微分作用越强。
值增大时，PID参数对快速性和稳定性的影响见下表：

PID参数	快速性	稳定性
Kp	提高	降低
Ti	降低	提高
Td	提高	降低

PID如何整定？

3.2比例（P）控制

比例控制器能立即成比例地、不失真也无时间滞后地复响应输入的变化量，其实质相当于一个放大器。控制器的输出量与偏差之间成比例关系，输出值为误差值和kp相乘。如果偏差为0，比例控制器就会失去作用，从而再次产生偏差（即稳态误差，见后文），因此很少单独使用比例控制。

u ( t ) = K p ∗ e ( t ) u(t) = Kp*e(t) u(t)=Kp∗e(t)

比例度
工业上常用比例度（ proportional band，或称比例带）来代替Kp，其值是Kp的倒数。
比例度是指在只有比例作用的情况下，能使控制器输出量做满量程变化的输入量相对变化的百分数。
以调节阀为例，为被调量产生50%的偏差时，调节阀能从全开到全关(或全关到全开)满量程变化。

仅有比例控制时，系统输出存在稳态误差 ess，这是由比例控制的本质决定的。
由公式可知：

e s s = u ( t ) K p ess=\frac{u(t)}{Kp} ess=Kpu(t)​

只有当满足Kp无限大，或u为0时，稳态误差为0。

3.3比例积分（PI）控制

即比例+积分（PI）控制器，是最为常用的一种控制器。
在比例控制的基础上，为了消除稳态误差，在控制器中必须引入“积分项”。通过“I”分量计算，则控制器的输出量与偏差的持续时间成比例增加。所以即便误差很小，积分项也会随时间增加而加大，它推动控制器的输出上升或下降（取决于误差的正负），使稳态误差进一步减小，直到等于零。
比例积分控制对于时间滞后的被控对象使用不够理想。

PI控制器相当于滞后校正，提高稳定性，但降低了快速性。

u ( t ) = K p [ e ( t ) + 1 T i ∫ 0 t e ( t ) d t ] u(t) = Kp[e(t)+\frac {1}{Ti}\int_0^te(t)dt] u(t)=Kp[e(t)+Ti1​∫0t​e(t)dt]

式中可看出PI控制器输出为比例控制和积分控制两部分之和。积分控制和比例控制的根本区别在于，比例控制器的输出只与当前的偏差有关，而积分控制器的输出则包含系统过去所有偏差的积累，只要历史偏差存在，即便当前偏差为0，其积分也一定有数值，从而产生输出；如果偏差不再变化，则终值便保持恒定不再变化。即偏差大于0时，积分控制器输出上升；偏差等于0时，积分控制器输出停止上升（下降）；偏差小于0时，积分控制器输出下降。

3.4比例微分（PD）控制

即比例+微分（PD）控制器，可以用一个积分环节和比例环节来表示。
在微分控制中，控制器的输出量与偏差的微分（即误差的变化率）成正比关系。自动控制系统在克服误差的调节过程中可能会出现振荡甚至失稳。其原因是由于存在有较大惯性组件（如储能元件）或有滞后(delay)组件，具有抑制误差的作用，其变化总是落后于误差的变化。
解决的办法是使抑制误差的作用的变化“超前”，即在误差接近零时，抑制误差的作用就应该是零。目前需要增加的是“微分项”，它能预测误差变化的趋势，这样，具有比例+微分的控制器，就能够提前使抑制误差的控制作用等于零，甚至为负值，从而避免了被控量的严重超调。
所以对有较大惯性或滞后的被控对象，比例+微分(PD)控制器能改善系统在调节过程中的动态特性，否则反而会使系统的控制受到影响。

PD控制器相当于超前校正，增加频带宽度，提高快速性，但损失增益，不利于稳定性。

u ( t ) = K p [ e ( t ) + T d ⋅ d e ( t ) d t ] u(t) = Kp[e(t)+Td·\frac{de(t)}{dt}] u(t)=Kp[e(t)+Td⋅dtde(t)​]

3.5比例积分微分（PID）控制

u ( t ) = K p [ e ( t ) + 1 T i ∫ 0 t e ( t ) d t + T d ⋅ d e ( t ) d t ] u(t) = Kp[e(t)+\frac {1}{Ti}\int_0^te(t)dt+Td·\frac{de(t)}{dt}] u(t)=Kp[e(t)+Ti1​∫0t​e(t)dt+Td⋅dtde(t)​]

上图为比例积分微分控制（理想情况）。

PID控制器相当于超前-滞后校正。

3.6积分饱和

当输出信号上升至执行器的极限后仍没有大到足以实现控制误差时，积分部分仍会继续上升，从而产生很大的积累值，即进入饱和区；当偏差反向时，控制器需要先消除已经饱和的积分项，才能消除误差，且进入饱和区愈深则退饱和时间愈长（退饱和超调），此时执行器仍停留在极限位置而不能随着偏差反向立即做出相应的改变，此即为积分饱和。积分饱和会导致具有很大过冲和强稳定时间的响应。

克服方法之一是进行积分限幅。

3.7死区

死区用于在控制器中防止对小误差的响应，从而减少振荡现象和运动部件的磨损。
死区公式见下图，当偏差值小于现值，则认为无偏差，不进行调节；当偏差值大于等于限值，则进行调节。

需要注意的是，偏差置0会造成积分消失。

3.8关于PID输出量的含义

我们知道对于自动控制系统来说，输入量和反馈量必须为同一类型，否则无法通过比较器比较；但是输出量却不需要与输入量为同一类型，例如对于水位控制系统来说，输入量为期望水位，反馈量为实际水位，而输出量则可以为阀门开度。

给定与过程反馈的一致性指：给定与反馈的物理意义一致；给定与反馈的数值范围对应。

那么对于PID控制器来说，它的输出量是什么？
PID控制器的输出量就是期望的输出量，也可以是任何需要的量，例如对于输入量为水位的PID系统来说，输出量就是阀门开度。
这同PID控制器特性有关。PID控制器根据输入偏差调整输出，其最终目的是为了消灭误差，这就决定了PID控制器本身不关心输出量的含义，只要存在误差，PID控制器便能达到预想的控制效果。

不过这也是个人浅见，推荐各位看一下这篇文章，有空我也会贴上相应专业文献。
pid控制器输出的量到底是什么？

4 PID数字化控制

4.1 位置式PID和增量式PID

数字PID调节器由位置式和增量式两种算法。
位置式PID的离散化公式为：

在位置式PID中，比例部分只与当前的偏差有关，而积分部分则是系统过去所有偏差的积累。

增量式PID的离散化公式为：

在增量式PID中，只需要当前和上一排的偏差即可计算输出的偏差量。

PID控制器相当于超前-滞后校正。

变频器的闭环运行就是在变频器控制的拖动系统中引入负反馈，进行反馈控制，以提高反馈精度。

关于对PID算法的通俗理解，可参考：PID控制算法原理（抛弃公式，从本质上真正理解PID控制）

在控制系统中，需要对控制器输出进行限幅。
对于位置式PID，只需设置输出限幅；而在增量式PID中，则需同时设输出限幅和积分限幅，后者用于避免产生较大的退饱和超调。

4.2采样周期和控制周期

周期越短，计算机实现的离散控制器就越接近连续控制器。

PID 算法的采样周期表示两次模拟量数据采样之间的时间。时间越短则越能反应模拟量的变化情况，并提高系统的抗干扰能力，但会加重ADC的计算负荷。在控制效果上，针对滞后系统，过短的采样周期会使相邻两次采样的差值几乎没有变化，致使积分和微分的调节作用会削弱。对于变化快速的对象，采样周期需要缩短。
采样实质等价于在反馈回路中引入额外死区时间，使控制器的突然扰动只能在半个采样周期的平均时间之后检测到。

PID 算法的控制周期表示两次输出值（控制值）计算之间的时间，即PID控制器进行对系统进行一次偏差调节时间。控制周期越短，则控制效果越好，但CPU计算负担越重。此外因为受控系统/执行单元也有响应带宽上限，所以到达一定的控制周期后，继续减小周期将不继续带来系统性能的显著提高，并使控制器对高频噪声更加敏感。

控制周期因大于等于采样周期，否则盲目提高采样周期毫无意义。

5 PID控制器的参数整定

PID参数对控制质量的影响不十分敏感，因而不同的PID系数的组合可能达到相近的控制效果。

编写可行的PID程序从来不是什么难点，难的是PID参数整定，异常麻烦以至于我们宁愿用开环控制。
需要设定的值有：

● 目标值（Setpoint）
● pid参数（Kp，Ki，Kd）
● 输出极限（OutputLimits）
● 采样时间（SampleTime）

5.1 基本方法

控制整定法有理论计算法和经验整定法两种。

阅读本小节前，推荐大家阅读这篇文章，以形成更为直观的认识。
需要提醒各位的是，PID参数整定是一件非常痛苦的事情，即便熟悉PID理论，对参数整定方法有所掌握，到实际调试时仍困难重重。

经验法

首先需要注意的是，由于闭环调节的影响因素，PID参数是无法通过数学建模的方式获取的，只有通过实际调试获得参数。即便如此，我们仍可以给出一些保守的PID参数作为初值，见下表：


若需加入积分作用，通常：
T d = （ 1 3   ∼ 1 4 ） ⋅ T i Td = （\frac{1}{3} ~ \thicksim \frac{1}{4}）·Ti Td=（31​ ∼41​）⋅Ti

临界比例法

一般采用的是临界比例法（属于工程整定法）。

工程整定法主要依赖工程经验，直接在控制系统的试验中进行，且方法简单、易于掌握，在工程实际中被广泛采用。（简单来讲就是试凑）。

PID调节的实质在于取得快速性和稳定性的折中，利用该方法进行PID控制器参数的整定步骤如下：
(1)首先预选择一个足够短的采样时间让系统工作，输入设定为系统允许的最大值（输出极限）的60%~70%。 控制时间根据实际工艺过程决定，一般默认1s，通常建议先从默认值开始，再根据结果进行调整，由于电机PID调节无滞后，顾在效果不佳的情况下也可尝试缩短采样时间。

(2)仅加入P比例控制环节。 当手动调节PID控制器时，通常按照P，I，D的顺序调整参数。初调时，Kp选小一些，这是为了尽可能减小比例作用；然后慢慢调大，直到系统对输入的阶跃信号（Step Function）出现临界振荡，记下这时的比例放大系数和临界振荡周期。如果后续需要加入积分控制环节，则需设定Kp为当前值的60%~70%，这是因为当Kp调整至接近期望值后，Ki就开始减少到合适值，这会导致稳定性的降低，反过来Ki又需要减少；

临界是介于收敛和发散的一种过渡状态。临界振荡指等幅振荡。

(3)加入I积分控制环节。 积分系数初调时要把积分时间设置长些，这是为了减小积分作用；然后慢慢调小直到系统稳定为止，设定PID的积分时间常数Ti为当前值的150%~180%。

一般情况下到此为止

(4)D微分控制环节一般不用设定，待整定参数越多，则整定难度越大。如果通过比例、积分参数的调节还是收不到理想的控制要求，才调节微分时间。初调时把这个系数设小，然后慢慢调大，直到系统稳定。除了会导致调参复杂，不使用微分控制环节的原因是其易受噪声和其它扰动影响，并将其放大到更大的程度，导致稳定性降低。

1.PID控制器的参数整定(经验总结)
2.PID：从入门到放弃
3.PID参数整定口诀解析

5.2 PID曲线分析

在PID调节中，根据反馈对给定值的跟随性能来评判控制效果，因此要衡量PID参数是否合适，必须能够连续观察反馈对于给定变化的响应曲线；并根据波形来调试调试PID参数。观察反馈量的连续波形，可以使用带慢扫描记忆功能的示波器（如数字示波器），波形记录仪，或者在PC机上做的趋势曲线监控画面等。
下图建议引自西门子官方文档，用户可以将调节的PID反馈与给定曲线与下图中对比，并修改相关参数：

比例积分微分控制的理想情况见下图，该曲线为10：1衰减曲线，允许存在一定的过冲以更快的到达目标点，再趋于稳定。

更新记录

2021.9.5 新增小节”关于PID输出量的含义“
2021.9.11 对“PID控制器的参数整定”小节进行了扩写；修正文中的部分错误，并进行了补充；文章题目变更为“线性系统的矫正方法——智能车PID控制学习笔记”。
2021.9.20 新增小节“采样周期和控制周期”
文章题目变更为“线性系统的矫正方法——智能车PID控制理论学习笔记”。
2021.9.25-27 小幅调整小节顺序，新增段落“PID曲线分析” “一些建议”
2022.1.15 例行更新

记录开始时间：2021.9.5