2024年华数杯国际赛A题：放射性废水处理建模（Radioactive Wastewater from Japan）
2011年3月，日本东海岸发生了地震，引发了福岛第一核电站事故，导致三个核反应堆熔毁，并在一场巨大海啸中冲毁了电站的冷却系统，核燃料产生融化的碎片。为了冷却熔化的核燃料，海水不断注入反应堆，导致大量放射性核素污染的冷却水。尽管全球各国人民反对，日本政府于2023年8月24日开始强制排放经过处理的福岛放射性废水到太平洋。受核素污染的放射性废水总量超过100万吨。整个项目预计将至少持续30年。附录是日本政府公布的四轮排放计划。
这些核废水含有氚，一种可以在环境中存在很长时间的放射性同位素。放射性元素的污染程度是指环境中存在的放射性元素的数量以及对人类和生态系统的潜在危害程度。通常通过测量放射性元素的浓度、辐射水平、半衰期等参数来评估。氚的高放射性使其具有通过辐射损害细胞和组织的潜力。在海洋环境中，氚将被生物吸收并进入食物链，导致对生态系统中的物种造成辐射损害，影响海洋生物的繁殖和生态平衡。
放射性废水在海水中的扩散路径受到许多因素的影响，包括水流、海床地形、水深、潮汐和季节变化以及环境条件。了解放射性废水在环境中的传输和扩散可以帮助我们评估对周围海洋生态系统和人类健康的巨大影响。
通过建立数学模型和分析，我们可以预测核废水的扩散范围和路径，制定环境保护措施和应急计划。
附录：
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问题一要求建立一个数学模型来描述海水中放射性废水的扩散情况。这个问题不能简单的套用机器学习模型，应该使用机理分析的方法来进行建模。我们可以考虑使用扩散方程（Diffusion Equation）来描述放射性物质在水体中的传播，扩散方程可以采用一维或二维的形式，取决于具体情况。
下面给出一维扩散模型的简单示例：
1、扩散方程
一维扩散方程可以表示为：
其中：
2、初始和边界条件：
初始条件： 初始时刻的浓度分布。
边界条件： 在空间边界的浓度。
这里， L 是空间的长度。
3、数值求解方法：
扩散方程的数值解可以通过有限差分法等方法进行离散化求解。通过将时间和空间分割成离散的步长，可以使用迭代方法来模拟废水的扩散过程。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 模型参数
D = 0.01 # 扩散系数
L = 100 # 空间长度
T = 30 # 模拟的总时间
Nx = 100 # 空间网格数
Nt = 300 # 时间步数
# 空间和时间步长
dx = L / Nx
dt = T / Nt
# 初始化浓度场
C = np.zeros((Nx, Nt+1))
# 设置初始条件
C[:, 0] = 0.0 # 初始浓度为零
# 数值求解
for t in range(Nt):
for x in range(1, Nx-1):
C[x, t+1] = C[x, t] + D * dt / dx**2 * (C[x+1, t] - 2*C[x, t] + C[x-1, t])
# 绘制结果
plt.imshow(C, extent=[0, T, 0, L], aspect='auto', cmap='viridis')
plt.colorbar(label='浓度')
plt.xlabel('时间')
plt.ylabel('空间位置')
plt.title('放射性废水扩散模拟')
plt.show()
1、扩散方程
二维扩散方程可以表示为：
其中：
2、初 始和边界条件
初始条件：初始时刻的浓度分布。
边界条件：在空间边界的浓度。
3、数 值求解方法
使用有限差分法或其他数值方法对二维扩散方程进行离散化求解。将空间和时间分割成离散的步长，通过迭代模拟废水在二维空间中的扩散过程。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 模型参数
D = 0.01 # 扩散系数
Lx = Ly = 100 # 空间长度
T = 30 # 模拟的总时间
Nx = Ny = 100 # 空间网格数
Nt = 300 # 时间步数
# 空间和时间步长
dx = Lx / Nx
dy = Ly / Ny
dt = T / Nt
# 初始化浓度场
C = np.zeros((Nx, Ny, Nt+1))
# 设置初始条件
C[:, :, 0] = 0.0 # 初始浓度为零
# 数值求解
for t in range(Nt):
for x in range(1, Nx-1):
for y in range(1, Ny-1):
C[x, y, t+1] = C[x, y, t] + D * dt / dx**2 * (C[x+1, y, t] - 2*C[x, y, t] + C[x-1, y, t]) + D * dt / dy**2 * (C[x, y+1, t] - 2*C[x, y, t] + C[x, y-1, t])
# 绘制结果
plt.imshow(C[:, :, Nt], extent=[0, Lx, 0, Ly], aspect='auto', cmap='viridis')
plt.colorbar(label='浓度')
plt.xlabel('空间位置 (x)')
plt.ylabel('空间位置 (y)')
plt.title('放射性废水二维扩散模拟')
plt.show()
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问题二涉及到建立数学模型来研究三次排放后放射性废水在海水中的扩散路径，考虑了海洋环流模式、水流动力学、海床地形、水深变化、潮汐影响和季节波动等因素。
以下是详细解题思路步骤：
1、扩散方程
三维扩散方程可以表示为：
其中：
2、初 始和边界条件
初始条件：初始时刻的浓度分布。
边界条件：在空间边界的浓度。
3、数 值求解方法
使用有限差分法或其他数值方法对三维扩散方程进行离散化求解。将空间和时间分割成离散的步长，通过迭代模拟废水在三维空间中的扩散过程。下面代码是使用有限差分法求解三维扩散模型，并追踪废水扩散路径的示例代码：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 模型参数
D = 0.01 # 扩散系数
L = 100 # 空间长度
T = 30 # 模拟的总时间
Nx = Ny = Nz = 100 # 空间网格数
Nt = 300 # 时间步数
# 空间和时间步长
dx = dy = dz = L / Nx
dt = T / Nt
# 初始化浓度场
C = np.zeros((Nx, Ny, Nz, Nt+1))
# 设置初始条件
C[:, :, :, 0] = 0.0 # 初始浓度为零
# 数值求解
for t in range(Nt):
for x in range(1, Nx-1):
for y in range(1, Ny-1):
for z in range(1, Nz-1):
C[x, y, z, t+1] = C[x, y, z, t] + D * dt / dx**2 * (C[x+1, y, z, t] - 2*C[x, y, z, t] + C[x-1, y, z, t]) + \
D * dt / dy**2 * (C[x, y+1, z, t] - 2*C[x, y, z, t] + C[x, y-1, z, t]) + \
D * dt / dz**2 * (C[x, y, z+1, t] - 2*C[x, y, z, t] + C[x, y, z-1, t])
# 绘制结果（路径追踪）
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(projection='3d')
ax.scatter(xs=path_x, ys=path_y, zs=path_z, c='r', marker='o', label='Path')
ax.set_xlabel('空间位置 (x)')
ax.set_ylabel('空间位置 (y)')
ax.set_zlabel('空间位置 (z)')
ax.set_title('放射性废水三维扩散模拟及路径追踪')
plt.legend()
plt.show()
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第三个问题涉及到根据调查结果分析放射性废水对中国未来渔业经济的长期影响。
数学模型：
（1）供需模型
一个可能的数学模型是考虑废水浓度对海鲜市场需求的影响，可以建立海鲜市场的供需模型，考虑废水浓度、价格、人口变化等因素对市场需求和供应的影响。
该模型可以包括以下要素：
这里， Demand 是海鲜市场的需求，废水浓度是废水排放对海鲜的影响，其他因素可以包括价格、市场宣传等其他可能的因素。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 模型参数
废水浓度 = np.linspace(0, 1, 100) # 废水浓度范围
其他因素 = np.random.rand(100) # 其他影响因素（随机生成）
# 模型函数
def 海鲜市场需求(废水浓度, 其他因素):
return 100 - 50 * 废水浓度 + 30 * 其他因素
# 计算需求
需求 = 海鲜市场需求(废水浓度, 其他因素)
# 绘制结果
plt.plot(废水浓度, 需求)
plt.xlabel('废水浓度')
plt.ylabel('海鲜市场需求')
plt.title('放射性废水对海鲜市场需求的影响模型')
plt.show()
（2）时间序列方法
也可以选择使用时间序列分析方法，考察海鲜市场需求和渔业经济变化的趋势，以预测未来的发展。
1、ARIMA 模型（Autoregressive Integrated Moving Average）：
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA
model = ARIMA(data, order=(p, d, q))
results = model.fit()
predictions = results.predict(start=start_date, end=end_date, dynamic=False, typ='levels')
2、Prophet 模型：
from fbprophet import Prophet
model = Prophet()
model.fit(dataframe)
future = model.make_future_dataframe(periods=365)
forecast = model.predict(future)
（3）机器学习方法
使用机器学习算法，对大量的调查数据进行训练，以预测放射性废水对渔业经济的长期影响。
from sklearn.linear_model import LinearRegression
model = LinearRegression()
model.fit(X_train, y_train)
predictions = model.predict(X_test)
from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor
model = DecisionTreeRegressor()
model.fit(X_train, y_train)
predictions = model.predict(X_test)
from sklearn.ensemble import RandomForestRegressor
model = RandomForestRegressor()
model.fit(X_train, y_train)
predictions = model.predict(X_test)
import tensorflow as tf
from tensorflow.keras.models import Sequential
from tensorflow.keras.layers import Dense
model = Sequential()
model.add(Dense(units=64, activation='relu', input_dim=input_dim))
model.add(Dense(units=1, activation='linear'))
model.compile(optimizer='adam', loss='mean_squared_error')
model.fit(X_train, y_train, epochs=100, batch_size=32)
predictions = model.predict(X_test)
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