优化配分函数

这是Python中的代码：

# function for pentagonal numbers
def pent (n):     return int((0.5*n)*((3*n)-1))

# function for generalized pentagonal numbers
def gen_pent (n): return pent(int(((-1)**(n+1))*(round((n+1)/2))))

# array for storing partitions - first ten already stored
partitions = [1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42]

# function to generate partitions 
def partition (k):
 if (k < len(partitions)): return partitions[k]

 total, sign, i = 0, 1, 1

 while (k - gen_pent(i)) >= 0:
  sign   = (-1)**(int((i-1)/2))
  total += sign*(partition(k - gen_pent(i)))
  i     +=  1

 partitions.insert(k,total)
 return total

它使用此方法来计算分区：

p(k) = p(k − 1) + p(k − 2) − p(k  − 5) − p(k − 7) + p(k − 12) + p(k  − 15) ...

（来源：维基百科 http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_%28number_theory%29#Generating_function)

然而，当涉及大数（超过 p(10^3)​​）时，代码会花费相当长的时间。我想问您是否可以优化我的代码，或者提示我一种不同但更快的算法或方法。欢迎任何优化建议。

不，在你问之前，这不是为了家庭作业或欧拉计划，而是为了经验值。

以下是一些评论。请注意，我不是这方面的专家，因为我也喜欢搞数学（和欧拉计划）。

我重新定义了五边形数函数如下：

def pent_new(n):
    return (n*(3*n - 1))/2

def gen_pent_new(n):
    if n%2:
        i = (n + 1)/2
    else:
        i = -n/2
    return pent_new(i)

我以不引入浮点计算的方式编写它们 - 对于大 n 使用浮点数会引入错误（比较结果n = 100000001).

您可以使用timeit http://docs.python.org/library/timeit.html#module-timeit模块来测试小代码片段。当我测试所有五边形函数（你的和我的）时，我的结果更快。下面是一个测试你的例子gen_pent功能。

# Add this code to your script
t = Timer("for i in xrange(1, 100): gen_pent(i)", "from __main__ import gen_pent")
print t.timeit()

这是对您的稍作修改partition功能。再次，用 timeit 进行测试表明它比你的要快partition功能。然而，这可能是由于对五边形数函数的改进所致。

def partition_new(n):
    try:
        return partitions_new[n]
    except IndexError:
        total, sign, i = 0, 1, 1
        k = gen_pent_new(i)
        while n - k >= 0:
            total += sign*partition_new(n - k)

            i += 1
            if i%2: sign *= -1
            k = gen_pent_new(i)

        partitions_new.insert(n, total)
        return total

在您的配分函数中，您为每个循环计算两次一般五边形数。一次在while条件下测试，另一次更新total。我将结果存储在变量中，因此每个循环只计算一次。

使用cProfile http://docs.python.org/library/profile.html#module-profilemodule（对于 python >= 2.5，否则为 profile 模块），您可以看到代码大部分时间都花在哪里。这是一个基于您的配分函数的示例。

import cProfile
import pstats

cProfile.run('partition(70)', 'partition.test')
p = pstats.Stats('partition.test')
p.sort_stats('name')
p.print_stats()

这会在控制台窗口中产生以下输出：

C:\Documents and Settings\ags97128\Desktop>test.py
Fri Jul 02 12:42:15 2010    partition.test

         4652 function calls (4101 primitive calls) in 0.015 CPU seconds

   Ordered by: function name

   ncalls  tottime  percall  cumtime  percall filename:lineno(function)
      552    0.001    0.000    0.001    0.000 {len}
        1    0.000    0.000    0.000    0.000 {method 'disable' of '_lsprof.Profiler' objects}
       60    0.000    0.000    0.000    0.000 {method 'insert' of 'list' objects}
        1    0.000    0.000    0.015    0.015 <string>:1(<module>)
     1162    0.002    0.000    0.002    0.000 {round}
     1162    0.006    0.000    0.009    0.000 C:\Documents and Settings\ags97128\Desktop\test.py:11(gen_pent)
    552/1    0.005    0.000    0.015    0.015 C:\Documents and Settings\ags97128\Desktop\test.py:26(partition)
     1162    0.002    0.000    0.002    0.000 C:\Documents and Settings\ags97128\Desktop\test.py:5(pent)

现在分析我的配分函数：

Fri Jul 02 12:50:10 2010    partition.test

         1836 function calls (1285 primitive calls) in 0.006 CPU seconds

   Ordered by: function name

   ncalls  tottime  percall  cumtime  percall filename:lineno(function)
        1    0.000    0.000    0.000    0.000 {method 'disable' of '_lsprof.Profiler' objects}
       60    0.000    0.000    0.000    0.000 {method 'insert' of 'list' objects}
        1    0.000    0.000    0.006    0.006 <string>:1(<module>)
      611    0.002    0.000    0.003    0.000 C:\Documents and Settings\ags97128\Desktop\test.py:14(gen_pent_new)
    552/1    0.003    0.000    0.006    0.006 C:\Documents and Settings\ags97128\Desktop\test.py:40(partition_new)
      611    0.001    0.000    0.001    0.000 C:\Documents and Settings\ags97128\Desktop\test.py:8(pent_new)

您可以在我的结果中看到没有调用len and round内置函数。我已经将五边形函数的调用次数几乎减少了一半（gen_pent_new and pent_new)

可能还有其他技巧可以提高 python 代码的速度。我会在这里搜索“python optimization”，看看你能找到什么。

最后，您提到的维基百科页面底部的链接之一是学术论文 http://www.site.uottawa.ca/~ivan/F49-int-part.pdf计算分区数的快速算法。快速浏览一下就会发现它包含算法的伪代码。这些算法可能比你我能产生的任何算法都要快。