发现长模式

给定一个排序的数字列表，我想找到最长的子序列，其中连续元素之间的差异呈几何级数增加。所以如果列表是

 1, 2, 3, 4, 7, 15, 27, 30, 31, 81

那么子序列是1, 3, 7, 15, 31。或者考虑1, 2, 5, 6, 11, 15, 23, 41, 47其中有子序列5, 11, 23, 47其中 a = 3 且 k = 2。

Can this be solved in O(n²) time? Where n is the length of the list.

I am interested both in the general case where the progression of differences is ak, ak², ak³, etc., where both a and k are integers, and in the special case where a = 1, so the progression of difference is k, k², k³, etc.

Update

我对算法进行了改进，平均需要 O(M + N^2)，内存需求为 O(M+N)。主要与下面描述的协议相同，但为了计算 ech 差异 D 的可能因素 A、K，我预加载了一个表格。对于 M=10^7，该表的构建时间不到一秒。

我做了一个 C 实现，只需不到 10 分钟即可解决 N=10^5 不同的随机整数元素。

以下是 C 语言的源代码：执行即可： gcc -O3 -o findgeo findgeo.c

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <memory.h>
#include <time.h>

struct Factor {
    int a;
    int k;
    struct Factor *next;
};

struct Factor *factors = 0;
int factorsL=0;

void ConstructFactors(int R) {
    int a,k,C;
    int R2;
    struct Factor *f;
    float seconds;
    clock_t end;
    clock_t start = clock();

    if (factors) free(factors);
    factors = malloc (sizeof(struct Factor) *((R>>1) + 1));
    R2 = R>>1 ;
    for (a=0;a<=R2;a++) {
        factors[a].a= a;
        factors[a].k=1;
        factors[a].next=NULL;
    }
    factorsL=R2+1;
    R2 = floor(sqrt(R));
    for (k=2; k<=R2; k++) {
        a=1;
        C=a*k*(k+1);
        while (C<R) {
            C >>= 1;
            f=malloc(sizeof(struct Factor));
            *f=factors[C];
            factors[C].a=a;
            factors[C].k=k;
            factors[C].next=f;
            a++;
            C=a*k*(k+1);
        }
    }

    end = clock();
    seconds = (float)(end - start) / CLOCKS_PER_SEC;
    printf("Construct Table: %f\n",seconds);
}

void DestructFactors() {
    int i;
    struct Factor *f;
    for (i=0;i<factorsL;i++) {
        while (factors[i].next) {
            f=factors[i].next->next;
            free(factors[i].next);
            factors[i].next=f;
        }
    }
    free(factors);
    factors=NULL;
    factorsL=0;
}

int ipow(int base, int exp)
{
    int result = 1;
    while (exp)
    {
        if (exp & 1)
            result *= base;
        exp >>= 1;
        base *= base;
    }

    return result;
}

void findGeo(int **bestSolution, int *bestSolutionL,int *Arr, int L) {
    int i,j,D;
    int mustExistToBeBetter;
    int R=Arr[L-1]-Arr[0];
    int *possibleSolution;
    int possibleSolutionL=0;
    int exp;
    int NextVal;
    int idx;
    int kMax,aMax;
    float seconds;
    clock_t end;
    clock_t start = clock();


    kMax = floor(sqrt(R));
    aMax = floor(R/2);
    ConstructFactors(R);
    *bestSolutionL=2;
    *bestSolution=malloc(0);

    possibleSolution = malloc(sizeof(int)*(R+1));

    struct Factor *f;
    int *H=malloc(sizeof(int)*(R+1));
    memset(H,0, sizeof(int)*(R+1));
    for (i=0;i<L;i++) {
        H[ Arr[i]-Arr[0] ]=1;
    }
    for (i=0; i<L-2;i++) {
        for (j=i+2; j<L; j++) {
            D=Arr[j]-Arr[i];
            if (D & 1) continue;
            f = factors + (D >>1);
            while (f) {
                idx=Arr[i] + f->a * f->k  - Arr[0];
                if ((f->k <= kMax)&& (f->a<aMax)&&(idx<=R)&&H[idx]) {
                    if (f->k ==1) {
                        mustExistToBeBetter = Arr[i] + f->a * (*bestSolutionL);
                    } else {
                        mustExistToBeBetter = Arr[i] + f->a * f->k * (ipow(f->k,*bestSolutionL) - 1)/(f->k-1);
                    }
                    if (mustExistToBeBetter< Arr[L-1]+1) {
                        idx=  floor(mustExistToBeBetter - Arr[0]);
                    } else {
                        idx = R+1;
                    }
                    if ((idx<=R)&&H[idx]) {
                        possibleSolution[0]=Arr[i];
                        possibleSolution[1]=Arr[i] + f->a*f->k;
                        possibleSolution[2]=Arr[j];
                        possibleSolutionL=3;
                        exp = f->k * f->k * f->k;
                        NextVal = Arr[j] + f->a * exp;
                        idx=NextVal - Arr[0];
                        while ( (idx<=R) && H[idx]) {
                            possibleSolution[possibleSolutionL]=NextVal;
                            possibleSolutionL++;
                            exp = exp * f->k;
                            NextVal = NextVal + f->a * exp;
                            idx=NextVal - Arr[0];
                        }

                        if (possibleSolutionL > *bestSolutionL) {
                            free(*bestSolution);
                            *bestSolution = possibleSolution;
                            possibleSolution = malloc(sizeof(int)*(R+1));
                            *bestSolutionL=possibleSolutionL;
                            kMax= floor( pow (R, 1/ (*bestSolutionL) ));
                            aMax= floor(R /  (*bestSolutionL));
                        }
                    }
                }
                f=f->next;
            }
        }
    }

    if (*bestSolutionL == 2) {
        free(*bestSolution);
        possibleSolutionL=0;
        for (i=0; (i<2)&&(i<L); i++ ) {
            possibleSolution[possibleSolutionL]=Arr[i];
            possibleSolutionL++;
        }
        *bestSolution = possibleSolution;
        *bestSolutionL=possibleSolutionL;
    } else {
        free(possibleSolution);
    }
    DestructFactors();
    free(H);

    end = clock();
    seconds = (float)(end - start) / CLOCKS_PER_SEC;
    printf("findGeo: %f\n",seconds);
}

int compareInt (const void * a, const void * b)
{
    return *(int *)a - *(int *)b;
}

int main(void) {
    int N=100000;
    int R=10000000;
    int *A = malloc(sizeof(int)*N);
    int *Sol;
    int SolL;
    int i;


    int *S=malloc(sizeof(int)*R);
    for (i=0;i<R;i++) S[i]=i+1;

    for (i=0;i<N;i++) {
        int r = rand() % (R-i);
        A[i]=S[r];
        S[r]=S[R-i-1];
    }

    free(S);
    qsort(A,N,sizeof(int),compareInt);

/*
    int step = floor(R/N);
    A[0]=1;
    for (i=1;i<N;i++) {
        A[i]=A[i-1]+step;
    }
*/

    findGeo(&Sol,&SolL,A,N);

    printf("[");
    for (i=0;i<SolL;i++) {
        if (i>0) printf(",");
        printf("%d",Sol[i]);
    }
    printf("]\n");
    printf("Size: %d\n",SolL);

    free(Sol);
    free(A);
    return EXIT_SUCCESS;
}

示范

I will try to demonstrate that the algorithm that I proposed is in average for an equally distributed random sequence. I’m not a mathematician and I am not used to do this kind of demonstrations, so please fill free to correct me any error that you can see.

有 4 个缩进循环，前两个是 N^2 因子。 M用于计算可能的因素表）。

第三个循环对于每对平均只执行一次。您可以看到此检查预先计算的因子表的大小。当N->inf时，其大小为M。因此每对的平均步数为 M/M=1。

所以证明恰好检查了第四个循环。 （对于所有对来说，遍历制作好的序列的执行时间小于或等于 O(N^2)。

为了证明这一点，我将考虑两种情况：一种是 M>>N，另一种是 M ~= N。其中 M 是初始数组的最大差值：M= S(n)-S(1)。

For the first case, (M>>N) the probability to find a coincidence is p=N/M. To start a sequence, it must coincide the second and the b+1 element where b is the length of the best sequence until now. So the loop will enter times. And the average length of this series (supposing an infinite series) is . So the total number of times that the loop will be executed is . And this is close to 0 when M>>N. The problem here is when M~=N.

现在让我们考虑 M~=N 的情况。让我们考虑 b 是迄今为止最好的序列长度。对于A=k=1的情况，则序列必须在N-b之前开始，因此序列的数量将为N-b，并且循环次数将最多为(N-b)*b。

For A>1 and k=1 we can extrapolate to where d is M/N (the average distance between numbers). If we add for all A’s from 1 to dN/b then we see a top limit of:

For the cases where k>=2, we see that the sequence must start before , So the loop will enter an average of and adding for all As from 1 to dN/k^b, it gives a limit of

这里，最坏的情况是当 b 最小时。因为我们正在考虑最小级数，所以让我们考虑 b= 2 的最坏情况，因此给定 k 的第四个循环的传递次数将小于

.

如果我们将所有 k 从 2 增加到无穷大将是：

因此，添加 k=1 和 k>=2 的所有遍数，我们得到最大值：

注意d=M/N=1/p。

所以我们有两个极限，一个是当 d=1/p=M/N 趋向 1 时趋向无穷大，另一种是当 d 趋向无穷大时趋向无穷大。所以我们的极限是两者的最小值，最坏的情况是两个方程交叉。因此，如果我们解方程：

我们看到最大值出现在 d=1.353 时

因此可以证明，第四个循环总共将被处理少于 1.55N^2 次。

当然，这是针对一般情况的。在最坏的情况下，我无法找到一种方法来生成第四次循环高于 O(N^2) 的级数，并且我坚信它们不存在，但我不是证明这一点的数学家。

旧答案

这是平均 O((n^2)*cube_root(M)) 的解决方案，其中 M 是数组的第一个元素和最后一个元素之间的差。内存需求为 O(M+N)。

1.- 构造一个长度为 M 的数组 H，如果 i 存在于初始数组中，则 M[i - S[0]]=true，如果不存在，则为 false。

2.- 对于数组 S[j]、S[i] 中的每一对，执行以下操作：

2.1 检查它是否可以是可能解决方案的第一个和第三个元素。为此，请计算满足方程 S(i) = S(j) + AK + AK^2 的所有可能的 A,K 对。查看这个问题 https://stackoverflow.com/questions/18286012/given-a-natural-number-a-i-want-to-find-all-the-pairs-of-natural-numbers-b-c看看如何解决这个问题。并检查是否存在第二个元素：S[i]+ A*K

2.2 还检查是否存在比我们现有的最佳解决方案更进一步的元素。例如，如果我们目前拥有的最佳解决方案是 4 个元素长，则检查是否存在元素 A[j] + AK + AK^2 + AK^3 + AK^4

2.3 如果2.1和2.2为真，则迭代这个系列有多长，并设置为迄今为止的最佳解决方案比上一个更长。

这是 JavaScript 中的代码：

function getAKs(A) {
    if (A / 2 != Math.floor(A / 2)) return [];
    var solution = [];
    var i;
    var SR3 = Math.pow(A, 1 / 3);
    for (i = 1; i <= SR3; i++) {
        var B, C;
        C = i;
        B = A / (C * (C + 1));
        if (B == Math.floor(B)) {
            solution.push([B, C]);
        }

        B = i;
        C = (-1 + Math.sqrt(1 + 4 * A / B)) / 2;
        if (C == Math.floor(C)) {
            solution.push([B, C]);
        }
    }

    return solution;
}

function getBestGeometricSequence(S) {
    var i, j, k;

    var bestSolution = [];

    var H = Array(S[S.length-1]-S[0]);
    for (i = 0; i < S.length; i++) H[S[i] - S[0]] = true;

    for (i = 0; i < S.length; i++) {
        for (j = 0; j < i; j++) {
            var PossibleAKs = getAKs(S[i] - S[j]);
            for (k = 0; k < PossibleAKs.length; k++) {
                var A = PossibleAKs[k][0];
                var K = PossibleAKs[k][17];

                var mustExistToBeBetter;
                if (K==1) {
                    mustExistToBeBetter = S[j] + A * bestSolution.length;
                } else {
                    mustExistToBeBetter = S[j] + A * K * (Math.pow(K,bestSolution.length) - 1)/(K-1);
                }

                if ((H[S[j] + A * K - S[0]]) && (H[mustExistToBeBetter - S[0]])) {
                    var possibleSolution=[S[j],S[j] + A * K,S[i]];
                    exp = K * K * K;
                    var NextVal = S[i] + A * exp;
                    while (H[NextVal - S[0]] === true) {
                        possibleSolution.push(NextVal);
                        exp = exp * K;
                        NextVal = NextVal + A * exp;
                    }

                    if (possibleSolution.length > bestSolution.length) {
                        bestSolution = possibleSolution;
                    }
                }
            }
        }
    }
    return bestSolution;
}

//var A= [ 1, 2, 3,5,7, 15, 27, 30,31, 81];
var A=[];
for (i=1;i<=3000;i++) {
    A.push(i);
}
var sol=getBestGeometricSequence(A);

$("#result").html(JSON.stringify(sol));

您可以在此处检查代码：http://jsfiddle.net/6yHyR/1/ http://jsfiddle.net/6yHyR/1/

我保留另一个解决方案，因为我相信当 M 相对于 N 很大时，它仍然更好。