欧拉计划问题 233

我决定解决欧拉计划接下来，但我遇到了一些重大问题！我做了一些分析并取得了一些相当不错的进展，但现在我陷入了困境。这是我的工作：

Lemma 1： 由于圆经过 4 个角点，因此对于任意 n 至少有 4 个解。但对于圆周上的每个点，都可以通过反射发现其他 7 个点。因此总是有8k+4个格点。

Lemma 2： 圆的半径为 (√2)n，圆心为 (n/2, n/2)，因此其方程为 (x-n/2)^2 + (y-n/2)^2 = [n/√2]^2。这减少到 x^2+y^2 = n(x+y)。

Lemma 3： 如果 x^2+y^2 = n(x+y) 的解写为 (x, y, z)，则另一个解是 (kx, ky, kz)。证明是：

(x+y)n = x^2+y^2

(kx)^2+(ky)^2 = (kx+ky)m
k(x^2+y^2) = (x+y)m
m = kn

这与我的想法一样——我看不出从那里可以去哪里，但它被包括在内，因为它可能很有用。

我的下一个想法是移动圆的中心。将有相同数量的解决方案将其在任何维度上移动为整数。所以当n/2是整数时，所以n=2k，x^2+y^2 = 2*k^2。事实证明，该方程的解与方程 x^2+y^2=k^2 的解一样多（参见斯隆A046109 http://www.research.att.com/~njas/sequences/A046109).

这也提供了一种简单的方法来计算任何n个过孔的解决方案的数量A046080 http://www.research.att.com/~njas/sequences/A046080。如果 4k+1 形式的 n 中素数的幂为 f[0]...f[m]，则解的数量为 4*product(2f[i]+1 | i in [0.. .m]）。

这使我能够向后工作： 4.product(2f[i]+1 | i in [0...m]) = 420，所以 product(2f[i]+1 | i in [0...m] ) = 105 = 3*5*7。我能够想出这个程序，我认为它可以找到所有 n 的总和，其形式为 2k 且小于 10^11，其中有 420 个圆形格点。答案（我希望如此！）是 257199853438240692。

这是 C 程序：

#include "stdlib.h"
#include "stdio.h"
#include "math.h"
#include "string.h"

#define lim 1000000000L

char prime[lim];
long primes[50000000];
long len = 0;

int main(void)
{
    long i, j;
    for(i = 0; i < lim; i++)
    {
        prime[i] = 1;
    }

    for(i = 2; i < lim; i++)
    {
        if(prime[i])
        {
            for(j = 2*i; j < lim; j += i) prime[j] = 0;
            if((i-1)%4 == 0)
            {
                prime[i] = 2;
                //printf("%li\n", i);
                primes[len++] = i;
            }
        }

        if(i < 1000 || (i < 10000 && i%1000 == 0) || i%10000 == 0) printf("%li, %li\n", i, len);
    }

    printf("primes!\n");

    long a, b, c, v, total = 0, k;
    for(a = 0; a < len; a++)
    {
        v = primes[a]*primes[a]*primes[a];
        if(v > 50000000000L) break;

        for(b = 0; b < len; b++)
        {
            if(b == a) continue;

            v = primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[b]*primes[b];
            if(v > 50000000000L) break;

            for(c = 0; c < len; c++)
            {
                if(c == a) continue;
                if(c == b) continue;

                v = primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[b]*primes[b]*primes[c];
                if(v > 50000000000L) break;

                for(k = 1; k*v <= 50000000000L; k++)
                {
                    if(prime[k] == 2) continue;
                    total += k*v;
                }
            }
        }
    }

    for(a = 0; a < len; a++)
    {
        v = primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a];
        if(v > 50000000000L) break;

        for(b = 0; b < len; b++)
        {
            if(b == a) continue;

            v = primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[b]*primes[b]*primes[b];
            if(v > 50000000000L) break;

            for(k = 1; k*v <= 50000000000L; k++)
            {
                if(prime[k] == 2) continue;
                total += k*v;
            }
        }
    }

    for(a = 0; a < len; a++)
    {
        v = primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a];
        if(v > 50000000000L) break;

        for(b = 0; b < len; b++)
        {
            if(b == a) continue;

            v = primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[a]*primes[b]*primes[b];
            if(v > 50000000000L) break;

            for(k = 1; k*v <= 50000000000L; k++)
            {
                if(prime[k] == 2) continue;
                total += k*v;
            }
        }
    }

    printf("%li\n", 2*total);


    return 0;
}

我们只需要将 420 个圆形格子点的 n 值相加，其形式为 2k+1！然而，这似乎比 n=2k 更难，而且我看不到任何方法。我也有点不确定我对 n 的答案是否正确，因为该方法非常复杂......任何人都可以确认吗？有没有一种简洁的方法而不需要对不同的 n 进行不同的处理？

我完全没主意了！

我最感兴趣的是如何处理 N=2k+1 ，因为当 N=2k 时我可以按照 John Feminella 的建议去做。

提示 1：圆的半径为 n/√2，对于整数 n 来说它永远不是整数，因此 A046080 永远不适用。

提示2：不要费力地滑动圆圈。把它从方格纸上拿起，想一想它，定义它的正方形，以及圆周上未知的兴趣点之间的相互关系。

提示 3：半圆的内切角始终为 90 度。

提示4：一个数可以有多少种写法来表示两个平方和？

在整个过程中充分使用奖励提示：对称！

剧透警告！

在您尝试根据上面的提示解决问题之前，请不要继续阅读

如果这些提示还不够，这里有一些与上面的提示交错的缺失步骤：

提示1.5：你必须改变看待问题的方式，因为你使用的方法是基于一个有缺陷的前提。

提示2.5：考虑正方形顶角之间弧线左侧的一个格点。根据对称性，在其右侧有另一个这样的点，在其正下方还有第三个这样的点。关于这些点之间的距离以及它们形成的三角形，你能说什么？

提示3.5：对于给定的n，如何确定正方形顶角之间的弧的左侧有多少个格点？