如果把矩阵化成对角矩阵,关于矩阵的函数计算问题就会大大简化。但一般的矩阵未必与对角矩阵相似。
矩阵的标准型有多重,Jordan (约当)标准型是最接近对角矩阵的形式,在控制理论中经常用到。
存在条件:
设
A∈Cn∗x
, 其特征多项式可以写成如下形式:
φ(λ)=(λ−λ1)m1…(λ−λs)ms
其中:
m1+m2+⋯+ms=n
, 那么,矩阵
A
可以经过相似变换,化成唯一的 Jordan 标准型 J 。即存在可逆矩阵 P, 满足
P−1AP=J
A
有Jordan 分解:
A=PJP−1
J=diag(J1(λ1),J2(λ2),…,Js(λs))
Ji(λi),i=1,2,…,s
被称为 Jardon 块。
对应的:
P=(P1,P2,…,Ps)
Ji(λi)=diag(J1(λi),J2(λi),…,Jki(λi),)
Jki(λi),i=1,2,…,ki
被称为 Jardon 子块。
对应的:
Pi=(Pi(1),Pi(2),…,Pi(ki)
Jki(λi)=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢λi00…01λi0…001λi…0……………0001λi⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥∈Cki∗ki
求解方法:
1、求矩阵的特征值
λi
及每个特征值的重数
mi
。
计算特征值
λi
的指标
ki
, 即
rank(A−λiI)ki=rank(A−λiI)ki+1
成立的最小正整数
ki
,也就是
λi
对应的约当块的最大阶数。
2、计算特征值
λi
对应的Jardon 块的个数及阶数。
rt=rank(A−λiI)t,t=0,1,2,…,ki
δt=rt−1+rt+1−2rt
δt
为
λi
对应的
t
阶约当块 的个数
Jt(λi)
3、计算
P
矩阵。
先求 Pi,i=1,2,…,s 。
先求
Pit,t=1,2,…,ki
对
t
阶约旦子块,求
(A−λiI)tx=0
的非零解(唯一)
x
,
Pit=(x,(A−λiI)x,…,(A−λiI)t−1x)
进过组合,就可以得到变换矩阵
P
<script type="math/tex" id="MathJax-Element-7880">P</script>
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