傅立叶变换详解

傅里叶变换

傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换，从时间转换为频率的变化

1. 连续傅里叶变换

这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f（t）的积分形式

连续傅里叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform)为：

一般可称函数f（t）为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。

其他形式变换对

在通信或是信号处理方面，常以来代换，而形成新的变换对:

或者是因系数重分配而得到新的变换对：

2.傅里叶级数

连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数 (Fourier series)的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的：

其中Fn为复幅度。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：

其中an和bn是实频率分量的幅度。

3.离散时域傅里叶变换

离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）的特例。DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆变换。

4.离散傅里叶变换

离散傅里叶变换（DFT），是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。

为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数xn定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下，使用离散傅里叶变换（DFT），将函数xn表示为下面的求和形式：

其中Xk是傅里叶幅度。直接使用这个公式计算的计算复杂度为O（nn），而快速傅里叶变换（FFT）可以将复杂度改进为O（nlgn）。

实数离散傅里叶变换

• 例子
  原始信号图像：

这个信号的长度是16，于是可以把这个信号分解9个余弦波和9个正弦波

（一个长度为N的信号可以分解成N/2+1个正余弦信号，一个长度为N的信号，最多只能有N/2+1个不同频率，再多的频率就超过了计算机所能所处理的精度范围 ）

在程序中：

x[]表示信号在每个时间点上的幅度值数组, 用大写X[]表示每种频率的副度值数组（即时间x-->频率X）

X[]数组分两种，一种是表示余弦波的不同频率幅度值：Re X[]，

另一种是表示正弦波的不同频率幅度值：Im X[]

• 频域中关于频率的四种表示方法
  1、序号表示方法，根据时域中信号的样本数取0 ~ N/2，用这种方法在程序中使用起来可以更直接地取得每种频率的幅度值，因为频率值跟数组的序号是一一对应的: X[k]，取值范围是0 ~ N/2；
  2、分数表示方法，根据时域中信号的样本数的比例值取0 ~ 0.5: X[ƒ]，ƒ = k/N，取值范围是0 ~ 1/2；
  3、用弧度值来表示，把ƒ乘以一个2π得到一个弧度值，这种表示方法叫做自然频率(natural frequency)：X[ω]，ω = 2πƒ = 2πk/N，取值范围是0 ~ π；
  4、以赫兹(Hz)为单位来表示，这个一般是应用于一些特殊应用，如取样率为10 kHz表示每秒有10,000个样本数：取值范围是0到取样率的一半。

• DFT基本函数
  ck[i] = cos(2πki/N)
  sk[i] = sin(2πki/N)
  其中k表示每个正余弦波的频率，如为2表示在0到N长度中存在两个完整的周期，10即有10个周期

• 分解运算方法（DFT）

  1)通过联立方程进行求解, 从代数的角度看，要从N个已知值求N个未知值，需要N个联立方程，且N个联立方程必须是线性独立的，计算量非常的大且极其复杂，很少被采用；

  2)利用信号的相关性（correlation）进行计算；

  

  上面a和 b两个图是待检测信号波，图a很明显可以看出是个3个周期的正弦信号波，图b的信号波则看不出是否含有正弦或余弦信号，图c和d都是个3个周期的正弦信号波，图e和f分别是a、b两图跟c、d两图相乘后的结果，图e所有点的平均值是0.5，说明信号a含有振幅为1的正弦信号c，但图f所有点的平均值是0，则说明信号b不含有信号d。这个就是通过信号相关性来检测是否含有某个信号的方法。

  

  3)快速傅立叶变换（FFT），大大提高了运算速度，根据复数形式的傅立叶变换来实现的，它把N个点的信号分解成长度为N的频域，

5.傅立叶变换分类

函数在时（频）域的离散对应于其像函数在频（时）域的周期性。反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性。也就是说，时间上的离散性对应着频率上的周期性。同时，注意，离散时间傅里叶变换，时间离散，频率不离散，它在频域依然是连续的。

根据原信号的不同类型，我们可以把傅立叶变换分为四种类别：

1、非周期性连续信号 傅立叶变换（Fourier Transform）

2、周期性连续信号 傅立叶级数(Fourier Series)

3、非周期性离散信号 离散时域傅立叶变换（Discrete Time Fourier Transform）

4、周期性离散信号 离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform)

   下图是四种原信号图例（从上到下，依次是FT，FS，DTFT，DFT）： 

问题：1.把长度有限的信号表示成长度无限的信号：

把信号用复制的方法进行延伸，这样信号就变成了周期性离散信号，这时我们就可以用离散傅立叶变换方法（DFT）

2.对于非周期性的信号，我们需要用无穷多不同频率的正弦曲线来表示：

对于离散信号的变换只有离散傅立叶变换（DFT）才能被适用，对于计算机来说只有离散的和有限长度的数据才能被处理

6.形象理解

矩形波在频域里的另一个模样了：

这就是矩形波在频域的样子，频域图像，也就是俗称的频谱，就是——

再清楚一点：

可以发现，在频谱中，偶数项的振幅都是0，也就对应了图中的彩色直线。振幅为 0 的正弦波。

我见解

傅里叶变换是一个线性的积分变换，从时域到频域，傅立叶变换分为连续傅立叶变换、傅立叶级数、离散时域傅立叶变换、离散傅立叶变换（DFT）.原理即是将输入的长度为N信号分解为N/2+1 正余弦，通过正交的原理。

傅里叶变换，实际上就是给一个时域上的函数乘上旋转因子,然后在全时间域上积分。在全时间域上积分，所以最后结果就刨去了时间t的影响。最后的积分结果是一个只关于的函数，也就是说是一个关于角频率的函数。这样就实现了时域到频域的转换。