逆向复数二维查找表

I have some function which maps some input to the output . The output is a complex number. What I'm actually interested in is the inverse function . But since this inversion can't be done in a analytical way I need to do it with a numerical approximation.

Since is computationally expensive my idea was to use a lookup table approach. I can generate a 2D lookup table with the dimensions (forward lookup table), but what I actually need is the inverse of this lookup table—yielding based on a given .

对于查找表的反转，我能想到的最简单的方法是使用正向查找表的条目作为顶点，并在规则网格中的它们之间进行插值，产生反向查找表。如果反向查找表对于所需的精度来说太大，我将生成粗略表并使用这些值作为优化算法的起始值。我缺少任何更简单的方法吗？

Where , are constant and , are .

1. for f(x,y)您可以使用f(x,y)->(a,b)2D LUT（查找表）

   但存储的网格点必须选择得足够密集，以便每个网格矩形最多有一个凹凸，否则插值将无法正常工作。

   如果要使用线性插值，则局部最小值/最大值必须是 LUT 内的点，因为并不总是需要更高阶的多项式插值。我会用4点三次插值 https://stackoverflow.com/a/20517874/2521214

2. 如何计算g(a,b)->(x,y)

   • 首先，反向映射可能吗？
   • 那么有多少(x,y)点返回相同(a,b)=f(x,y) ?
   • 它与问题相同：是f功能与否？

   if f不是函数那么你就会遇到问题并且无法解决这个问题，除非以某种方式将范围细分为子范围，其中f是函数，然后您必须根据一些规则选择适当的范围，具体取决于您想要做什么。所以让我们假设f是函数

   那么如何计算(x,y)=g(a,b) that f(x,y)=(a,b)?

   1. 我将从结果的近似值开始。所以尝试够了(x,y)沿整个范围的值并存储最接近所需输出的点，以便|f(x,y)-(a,b)|是最小的。

   2. 然后再次开始，但不是在全范围，而是在这个点附近

      • 递归地将准确性提高到您需要的程度。
      • 看这里提高超越方程求解的精度 https://stackoverflow.com/q/29166819/2521214我正在计算类似的问题，有 2D 点的 1D LUT(a(t),y(t))并需要逆 3D 点(a0,y0,z0)你可以在那里使用我的近似类

近似值的嵌套是这样完成的：

int n=5;  // recursions
double e; // Error Of Solution Variable
approx ax,ay;
//            min    max   step   
for (ax.init(-100.0,+100.0,10.0,n,&e);!ax.done;ax.step())
for (ay.init(-100.0,+100.0,10.0,n,&e);!ay.done;ay.step())
    {
    e=|f(ax.a,ay.a)-(a,b)|;
    }
// here (ax.a,ay.a) should hold your solution for input point `(a,b)`

• 初始步骤应该尽可能小，这样就不会错过任何凹凸
• if your g(a,b)形状太复杂那么这可能无法正常工作

由此您可以计算逆 LUT 表...

• 每次递归都将步长除以10所以选择n wisely.

对于 2D 和奇异点来说，这的性能还不错O((log(N))^2)。我在 3D 上做这个O((log(N))^3) with 100点每e计算速度非常慢（大约 35 秒）

• where N=(10^n)*(max-min)/step, and n是递归次数
• 准确度是step/(10^n)
• 不要忘记将最小值、最大值更改为您使用的范围......