不变函子的例子？

我正在阅读monad 层包的文档 http://hackage.haskell.org/package/layers-0.1/docs/Documentation-Layers-Overview.html我的大脑快要沸腾了。

In the mmtl作者谈论的本文档部分不变函子。是方法invmap就好像fmap of Functor但它需要逆态射(b -> a)还。我明白作者为什么这么说hoist of MFunctor比tmap of Invariant但我不明白逆态射有什么意义。

有没有任何例子Invariant这不能是一个实例Functor?

这是一个标准的地方Invariant出现了——用于嵌入 lambda 演算的高阶抽象语法 (HOAS)。在 HOAS 中，我们喜欢编写表达式类型，例如

data ExpF a 
  = App a a
  | Lam (a -> a)

-- ((\x . x) (\x . x)) is sort of like
ex :: ExpF (ExpF a)
ex = App (Lam id) (Lam id)

-- we can use tricky types to make this repeat layering of `ExpF`s easier to work with

我们希望这种类型具有如下结构Functor但遗憾的是，自从Lam has as 处于正位置和负位置。所以我们定义

instance Invariant ExpF where
  invmap ab ba (App x y) = App (ab x) (ab y)
  invmap ab ba (Lam aa)  = Lam (ab . aa . ba)

这真的很悲惨，因为我们真正想做的就是折叠它ExpF输入自身以形成递归表达式树。如果它是一个Functor这是显而易见的，但由于它不是，我们得到了一些非常丑陋、具有挑战性的结构。

要解决此问题，您可以添加另一个类型参数并将其称为参数化 HOAS

data ExpF b a
  = App a a
  | Lam (b -> a)
  deriving Functor

我们最终发现我们可以使用它的类型在这种类型之上构建一个免费的 monadFunctor绑定是变量替换的实例。很不错！