为什么冒泡排序最好情况的时间复杂度是O(n)

我按照书中使用的方法推导了冒泡排序在最佳情况下的时间复杂度算法2.2.但结果是 O(n^2)。

以下是我的推导，希望大家帮我找出哪里错了：

public void bubbleSort(int arr[]) {
for(int i = 0, len = arr.length; i < len - 1; i++) {
    for(int j = 0; j < len - i - 1; j++) {
        if(arr[j + 1] < arr[j])
            swap(arr, j, j + 1);
    }
}

}

Statements                      cost    times
i = 0,len = arr.length          c1          1
i < len - 1                     c2          n
i++                             c3          n - 1
j = 0                           c4          n - 1
j < len - i - 1                 c5          t1(i=0) + t1(i=1) + ... + t1(i = n-2)
j++                             c6          t2(i=0) + t2(i=1) + ... + t2(i = n-2)
arr[j + 1] < arr[j]             c7          t3(i=0) + t3(i=1) + ... + t3(i = n-2)
swap(arr, j, j + 1)             c8          t4(i=0) + t4(i=1) + ... + t4(i = n-2)

T(n) = c1 + c2n + c3(n - 1) + c4(n - 1) + c5t5 + c6t6 + c7t7 + c8t8 = c1 + c2n + c3(n - 1) + c4(n - 1) + c5[t1(i=0) + t1(i=1) + ... + t1(i = n-2)] + c6 [t2(i=0) + t2(i=1) + ... + t2(i = n-2)] + c7[t3(i=0) + t3(i=1) + ... + t3 (i = n-2)] + c8[t4(i=0) + t4(i=1) + ... + t4(i = n-2)];

在最好的情况下，序列在排序之前就已经是正数了。那么t8应该是0。

T(n) = c1 + c2n + c3(n - 1) + c4(n - 1) + c5[t1(i=0) + t1(i=1) + ... + t1(i = n-2 )] + c6[t2(i=0) + t2(i=1) + ... + t2(i = n-2)] + c7[t3(i=0) + t3(i=1) + . .. + t3(i = n-2)]

时间复杂度为O(n^2)

您的实施

public void bubbleSort(int arr[]) {
    for(int i = 0, len = arr.length; i < len - 1; i++) {
        for(int j = 0; j < len - i - 1; j++) {
            if(arr[j + 1] < arr[j])
                swap(arr, j, j + 1);
        }
    }
}

缺乏控制内循环中是否有任何交换，以及如果没有则中断外循环。

该控制使得最好的情况（已经排序的数组）成为 O(n) 成为可能，因为这样在第一次运行时内部循环中就没有交换。

public void bubbleSort(int arr[]) {
    boolean swapped = true;
    for(int i = 0, len = arr.length; swapped && i < len - 1; i++) {
        swapped = false;
        for(int j = 0; j < len - i - 1; j++) {
            if(arr[j + 1] < arr[j]) {
                swap(arr, j, j + 1);
                swapped = true;
            }
        }
    }
}