基于点的线/平面相交

我在空间中有两个点，L1 和 L2，它们定义了一条线上的两个点。

我在空间中有三个点，P1、P2 和 P3，这三个点在平面上。

那么给定这些输入，直线在什么点与平面相交？

外汇。平面方程 A*x+B*y+C*z+D=0 为：

A = p1.Y * (p2.Z - p3.Z) + p2.Y * (p3.Z - p1.Z) + p3.Y * (p1.Z - p2.Z)
B = p1.Z * (p2.X - p3.X) + p2.Z * (p3.X - p1.X) + p3.Z * (p1.X - p2.X)
C = p1.X * (p2.Y - p3.Y) + p2.X * (p3.Y - p1.Y) + p3.X * (p1.Y - p2.Y)
D = -(p1.X * (p2.Y * p3.Z - p3.Y * p2.Z) + p2.X * (p3.Y * p1.Z - p1.Y * p3.Z) + p3.X * (p1.Y * p2.Z - p2.Y * p1.Z))

但其余的呢？

解决这个问题最简单（而且非常通用）的方法是：

L1 + x*(L2 - L1) = (P1 + y*(P2 - P1)) + (P1 + z*(P3 - P1))

它给出了 3 个变量的 3 个方程。求解 x、y 和 z，然后代入任一原始方程以获得答案。这可以推广到做复杂的事情，比如找到 4 维中两个平面的交点。

对于另一种方法，叉积N of (P2-P1) and (P3-P1)是与平面成直角的向量。这意味着平面可以定义为点的集合P这样的点积P and N是点积P1 and N。解决x这样(L1 + x*(L2 - L1)) dot N这个常数为您提供了一个易于求解的单变量方程。如果您要与该平面相交很多线，那么这种方法绝对值得。

明确地写出这给出：

N = cross(P2-P1, P3 - P1)
Answer = L1 + (dot(N, P1 - L1) / dot(N, L2 - L1)) * (L2 - L1)

where

cross([x, y, z], [u, v, w]) = x*u + y*w + z*u - x*w - y*u - z*v
dot([x, y, z], [u, v, w]) = x*u + y*v + z*w

请注意，叉积技巧only适用于 3 维，并且仅适用于平面和直线的特定问题。