可逆线性变换

线性变换的逆变换

对于线性空间 V V $V$ 上的任意一个线性变换 f,$f,$$f,$ 若存在 V V $V$ 上的一个变换 g,$g,$$g,$
使得 f∘g=g∘f=I, f ∘ g = g ∘ f = I , $f \circ g = g \circ f = \mathbf {I},$ 则称 g g $g$ 为 f$f$$f$ 的逆变换，记为 f−1 f − 1 $f^{-1}$ 。

逆变换的唯一性

对于线性空间 V V $V$ 上的任意一个线性变换 g,$g,$$g,$ 若存在线性空间 V V $V$ 上的线性变换 g,g′$g,g^{\prime }$$g, g'$ 使得 f∘g=g∘f=I, f ∘ g = g ∘ f = I , $f \circ g = g \circ f = \mathbf {I},$ 且 f∘g′=g′∘f=I, f ∘ g ′ = g ′ ∘ f = I , $f \circ g' = g' \circ f = \mathbf {I},$ 则 g=g′ g = g ′ $g = g'$ 。

证明

g=g∘In=g∘(f∘g′)=(g∘f)∘g′=Im∘g′=g′ g = g ∘ I n = g ∘ ( f ∘ g ′ ) = ( g ∘ f ) ∘ g ′ = I m ∘ g ′ = g ′ $g = g \circ \mathbf {I}_n = g \circ (f \circ g' ) = (g \circ f) \circ g' = \mathbf {I}_m \circ g' = g'$

可逆的必要条件

1. 若 f f $f$ 可逆，则 f$f$$f$ 是满射，即 f f $f$ 的值域 ranf=V$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}f=V$$\mathrm {ran} f= V$ 。
   证明
   对于任意一个向量 α∈V, α ∈ V , $\alpha \in V,$ 存在向量 β=f−1(α)∈V, β = f − 1 ( α ) ∈ V , $\beta = f^{-1} (\alpha) \in V,$ 使得
   f(β)=f(f−1(α))=(f∘f−1)(α)=α f ( β ) = f ( f − 1 ( α ) ) = ( f ∘ f − 1 ) ( α ) = α $f(\beta) = f (f^{-1} (\alpha))= (f \circ f^{-1}) (\alpha) = \alpha$
2. 若 f f $f$ 可逆，则 f$f$$f$ 是单射。
   证明
   对于任意两个向量 α,β∈V, α , β ∈ V , $\alpha, \beta \in V,$
   f(α)=f(β)⇒f−1(f(α))=f−1(f(β)) f ( α ) = f ( β ) ⇒ f − 1 ( f ( α ) ) = f − 1 ( f ( β ) ) $f(\alpha) = f(\beta ) \Rightarrow f^{-1} (f(\alpha) ) = f^{-1} (f(\beta ) )$
   ⇒(f−1∘f)(α)=(f−1∘f)(β)⇒α=β ⇒ ( f − 1 ∘ f ) ( α ) = ( f − 1 ∘ f ) ( β ) ⇒ α = β $\Rightarrow (f^{-1} \circ f) (\alpha) = (f^{-1} \circ f) (\beta ) \Rightarrow \alpha = \beta$
3. 由1，2得，若 f f $f$ 可逆，则 f$f$$f$ 是一一映射。
4. 由3得，可逆的线性变换是同构映射。

可逆的充分条件

若线性变换 f f $f$ 是一一映射，则 f$f$$f$ 可逆。
定义线性空间 V V $V$ 上的关系 g={(α,β):α,β∈V∧f(β)=α},$g=\{(\alpha ,\beta ):\alpha ,\beta \in V\wedge f(\beta )=\alpha \},$$g = \{ (\alpha, \beta ) : \alpha, \beta \in V \land f(\beta ) = \alpha\},$ 则：
1. g g $g$ 是一个函数。
证明：
∀α,β∈V,(α,β)∈g∧(α,β′)∈g$\mathrm{\forall }\alpha ,\beta \in V,(\alpha ,\beta )\in g\wedge (\alpha ,{\beta }^{\prime })\in g$$\forall \alpha, \beta \in V, (\alpha, \beta) \in g \land (\alpha, \beta') \in g$
⇒f(β)=α∧f(β′)=α⇒β=β′ ⇒ f ( β ) = α ∧ f ( β ′ ) = α ⇒ β = β ′ $\Rightarrow f(\beta ) = \alpha \land f(\beta' ) = \alpha \Rightarrow \beta = \beta'$
2. g g $g$ 的定义域是 V$V$$V$ 。
证明：
f f $f$ 是一一映射，因此 ∀α∈V,∃β∈V,$\mathrm{\forall }\alpha \in V,\mathrm{\exists }\beta \in V,$$\forall \alpha \in V, \exists \beta \in V,$ 使得 α=f(β), α = f ( β ) , $\alpha = f(\beta),$
则 (α,β)∈g, ( α , β ) ∈ g , $(\alpha, \beta) \in g,$ 因此 g g $g$ 的定义域是 V$V$$V$ 。
3. f∘g=g∘f=I f ∘ g = g ∘ f = I $f \circ g = g \circ f = \mathbf {I}$ 。
证明：
∀α∈V, ∀ α ∈ V , $\forall \alpha \in V,$ 令 β=g(α), β = g ( α ) , $\beta = g(\alpha),$ 则 f(β)=α, f ( β ) = α , $f(\beta) = \alpha,$ 因此 (f∘g)(α)=f(g(α))=f(β)=α ( f ∘ g ) ( α ) = f ( g ( α ) ) = f ( β ) = α $(f \circ g)(\alpha) = f(g(\alpha)) = f(\beta) = \alpha$
∀β∈V, ∀ β ∈ V , $\forall \beta \in V,$ 令 α=f(β), α = f ( β ) , $\alpha = f(\beta ),$ 则 g(α)=β, g ( α ) = β , $g(\alpha ) = \beta ,$ 因此 (g∘f)(β)=g(f(β))=g(α)=β ( g ∘ f ) ( β ) = g ( f ( β ) ) = g ( α ) = β $(g \circ f)(\beta ) = g(f(\beta )) = g(\alpha ) = \beta$

可逆的充要条件

f f $f$ 可逆的充要条件是： f$f$$f$ 是一一映射。

性质

性质1

若线性变换可逆，则线性变换的逆变换也是线性变换。
即：对于线性空间 V V $V$ 上的任意一个线性变换 f,$f,$$f,$ 若 f f $f$ 可逆，
则它的逆变换 f−1$f^{-1}$$f^{-1}$ 也是线性变换。

证明

f−1 f − 1 $f^{-1}$ 是 f f $f$ 的逆映射，因此 f∘f−1=f−1∘f=I$f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=\mathbf{I}$$f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = \mathbf {I}$ 。则
对于任意两个向量 α,β∈V, α , β ∈ V , $\alpha, \beta \in V,$ 以及任意的 k∈P k ∈ P $k \in P$ ：
f−1(α+β)=f−1((f∘f−1)(α)+(f∘f−1)(β)) f − 1 ( α + β ) = f − 1 ( ( f ∘ f − 1 ) ( α ) + ( f ∘ f − 1 ) ( β ) ) $f^{-1} (\alpha + \beta) = f^{-1} ((f \circ f^{-1})(\alpha) + (f \circ f^{-1})(\beta))$
=f−1(f(f−1(α))+f(f−1(β))) = f − 1 ( f ( f − 1 ( α ) ) + f ( f − 1 ( β ) ) ) $= f^{-1} (f ( f^{-1}(\alpha) )+ f ( f^{-1}(\beta) ))$
=f−1(f(f−1(α)+f−1(β))) = f − 1 ( f ( f − 1 ( α ) + f − 1 ( β ) ) ) $= f^{-1} (f ( f^{-1}(\alpha) + f^{-1}(\beta) ))$
=(f−1∘f)(f−1(α)+f−1(β)) = ( f − 1 ∘ f ) ( f − 1 ( α ) + f − 1 ( β ) ) $= (f^{-1} \circ f ) ( f^{-1}(\alpha) + f^{-1}(\beta) )$
=f−1(α)+f−1(β) = f − 1 ( α ) + f − 1 ( β ) $= f^{-1}(\alpha) + f^{-1}(\beta)$

f−1(kα)=f−1(k((f∘f−1)(α))) f − 1 ( k α ) = f − 1 ( k ( ( f ∘ f − 1 ) ( α ) ) ) $f^{-1} (k \alpha) = f^{-1} (k ( (f \circ f^{-1})(\alpha)))$
=f−1(kf(f−1(α))) = f − 1 ( k f ( f − 1 ( α ) ) ) $= f^{-1} (k f (f^{-1} (\alpha)))$
=f−1(f(kf−1(α))) = f − 1 ( f ( k f − 1 ( α ) ) ) $= f^{-1} ( f (k f^{-1} (\alpha)))$
=(f−1∘f)(kf−1(α)) = ( f − 1 ∘ f ) ( k f − 1 ( α ) ) $= (f^{-1} \circ f )(k f^{-1} (\alpha))$
=kf−1(α) = k f − 1 ( α ) $= k f^{-1} (\alpha)$
因此 f−1 f − 1 $f^{-1}$ 也是线性变换。

性质2

若 f f $f$ 可逆，则它的逆变换 f−1$f^{-1}$$f^{-1}$ 也可逆，且 (f−1)−1=f ( f − 1 ) − 1 = f ${(f^{-1})}^{-1} = f$ 。

证明

由定义可得 f∘f−1=f−1∘f=I f ∘ f − 1 = f − 1 ∘ f = I $f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = \mathbf {I}$ 。