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在贝叶斯方法中，针对含有隐变量的学习和推理，通常有两类方式，其一是马尔可夫链蒙特卡罗法 (MCMC)，其通过采样来近似估计后验概率分布；其二是变分推断，通过解析的方法近似计算后验概率分布。
假设联合概率分布 p ( x , z ) p(x,z) p(x,z)，其中 x x x 是观测变量，即数据， z z z 是隐变量，目标是学习后验概率分布 p ( z ∣ x ) p(z\mid x) p(z∣x)。
由于 p ( z ∣ x ) p(z\mid x) p(z∣x) 通常非常复杂，难以直接求解，因此变分推断使用分布 q ( z ) q(z) q(z) 来近似 p ( z ∣ x ) p(z\mid x) p(z∣x)，并通过限制 q ( z ) q(z) q(z) 形式，得到一种局部最优、但具有确定解的近似后验分布。其中 q ( z ) q(z) q(z) 即为变分分布 (variational distribution)， q ( z ) q(z) q(z) 与 p ( z ∣ x ) p(z\mid x) p(z∣x) 之间的相似度通过 KL \text{KL} KL 散度衡量。
如下图所示，我们希望在集合 Q \mathcal{Q} Q 中找到 q ∗ ( z ) q^*(z) q∗(z) 使其与 p ( z ∣ x ) p(z\mid x) p(z∣x) 之间的 KL \text{KL} KL 散度尽可能小。
基于上述想法，对
KL
(
q
(
z
)
∥
p
(
z
∣
x
)
)
\text{KL}(q(z)\|p(z\mid x))
KL(q(z)∥p(z∣x)) 进行拆解：
KL
(
q
(
z
)
∥
p
(
z
∣
x
)
)
=
∫
q
(
z
)
log
q
(
z
)
d
z
−
∫
q
(
z
)
log
p
(
z
∣
x
)
d
z
=
log
p
(
x
)
−
{
∫
q
(
z
)
log
p
(
x
,
z
)
d
z
−
∫
q
(
z
)
log
q
(
z
)
d
z
}
=
log
p
(
x
)
−
E
q
[
log
p
(
x
,
z
)
−
log
q
(
z
)
]
.
\begin{aligned} \text{KL}(q(z)\| p(z\mid x)) &= \int q(z) \log q(z) \text{d} z - \int q(z) \log p(z\mid x) \text{d} z \\ &= \log p(x) - \left\{\int q(z) \log p(x,z) \text{d} z - \int q(z) \log q(z) \text{d} z\right\} \\ &= \log p(x) - \mathbb{E}_q\left[\log p(x,z)-\log q(z)\right]. \end{aligned}
KL(q(z)∥p(z∣x))=∫q(z)logq(z)dz−∫q(z)logp(z∣x)dz=logp(x)−{∫q(z)logp(x,z)dz−∫q(z)logq(z)dz}=logp(x)−Eq[logp(x,z)−logq(z)].
由于
KL
\text{KL}
KL 散度非负，因此：
log
p
(
x
)
≥
E
q
[
log
p
(
x
,
z
)
−
log
q
(
z
)
]
.
\log p(x) \geq \mathbb{E}_q\left[\log p(x,z)-\log q(z)\right].
logp(x)≥Eq[logp(x,z)−logq(z)].
不等式左端为证据 (Evidence)，右端则为证据下界 (Evidence Lower Bound, ELBO \text{ELBO} ELBO)，记作 L ( q ) L(q) L(q)（ELBO 经常出现于各类与贝叶斯有关的文章中）。
我们的目的是求解 q ( z ) q(z) q(z) 来最小化 KL ( q ( z ) ∥ p ( z ∣ x ) ) \text{KL}(q(z)\| p(z\mid x)) KL(q(z)∥p(z∣x))，由于 log p ( x ) \log p(x) logp(x) 是常量，问题转化为最大化 ELBO \text{ELBO} ELBO L ( q ) L(q) L(q).
若
q
(
z
)
q(z)
q(z) 形式过于复杂，最大化
ELBO
\text{ELBO}
ELBO 依然难以求解，因此通常会对
q
(
z
)
q(z)
q(z) 形式进行约束，一种常见的方式是假设
z
z
z 服从分布
q
(
z
)
=
∏
i
q
i
(
z
i
)
,
q(z)=\prod_{i} q_i(z_i),
q(z)=i∏qi(zi),
即 z z z 可拆解为一系列相互独立的 z i z_i zi，此时的变分分布称为平均场 (Mean Filed).
总结一下，变分推断常见步骤如下：
上述变分推断过程可以与「广义 EM」联系起来，由于 log p ( x ) ≥ ELBO \log p(x)\geq \text{ELBO} logp(x)≥ELBO 恒成立，若将模型参数 θ \theta θ 引入其中，即可得到：
log p ( x ∣ θ ) ≥ E q [ log p ( x , z ∣ θ ) − log q ( z ) ] , \log p(x\mid \theta) \geq \mathbb{E}_q\left[\log p(x,z\mid \theta)-\log q(z)\right], logp(x∣θ)≥Eq[logp(x,z∣θ)−logq(z)],
此时有两种理解：
虽然两种视角不同，但结论一致，即最大化 ELBO \text{ELBO} ELBO，记作 L ( q , θ ) L(q,\theta) L(q,θ)。对应于广义 EM 算法，即采用迭代的方式，循环执行 E 步和 M 步，直至收敛：
上述迭代可以保证
log
p
(
x
∣
θ
(
t
)
)
\log p(x\mid \theta^{(t)})
logp(x∣θ(t)) 不降，即一定会收敛，但可能会收敛到局部最优：
log
p
(
x
∣
θ
(
t
−
1
)
)
=
L
(
q
(
t
)
,
θ
(
t
−
1
)
)
≤
L
(
q
(
t
)
,
θ
(
t
)
)
≤
log
p
(
x
∣
θ
(
t
)
)
\log p(x \mid \theta^{(t-1)})=L(q^{(t)}, \theta^{(t-1)}) \leq L(q^{(t)}, \theta^{(t)}) \leq \log p(x \mid \theta^{(t)})
logp(x∣θ(t−1))=L(q(t),θ(t−1))≤L(q(t),θ(t))≤logp(x∣θ(t))
其中「左边第一个等号」由变分推断原理 + E 步得到，「左边第一个不等号」由 M 步得到，「左边第二个不等号」由变分推断原理得到。
