FMCW-距离估计

距离估计

FMCW雷达工作原理

如上图所示，圈1是一个信号产生器，用于产生一个线性调频脉冲信号（频率随时间义线性方式增长的正弦波），经圈2发射天线发送出去，并且和圈3接收到的回波信号与圈4处进行混频，得到咱们想要的中频信号。

推导如下:

假设信号起始频率位 f 0 f_0 f0​，带宽为 B B B，斜率为 S = B T c S = \frac B{T_c} S=Tc​B​

发射信号的频率可以表示为 f = f 0 + S ∗ t f = f_0 + S*t f=f0​+S∗t

因此相位可以表示为 ϕ = f 0 ∗ t + 1 2 S t 2 \phi = f_0*t + \frac{1}{2}St^2 ϕ=f0​∗t+21​St2(相位的导数等于频率)

雷达发射信号可用复信号表示为 e j 2 π ( f 0 t + 1 2 S t 2 + ϕ 0 ) e^{j2\pi(f_0t+\frac{1}{2}St^2+\phi_0)} ej2π(f0​t+21​St2+ϕ0​)

信号时域和频域如下图所示

设静止目标距离雷达距离为 R R R，电磁波传输的速度为 C C C，则接收信号的时延是 τ = 2 ∗ R C \tau = \frac{2*R}{C} τ=C2∗R​

通过发射信号的表达式可得接收信号表达式为 e j 2 π ( f 0 ∗ ( t − τ ) + 1 2 S ∗ ( t − τ ) 2 + ϕ 0 ) e^{j2\pi(f_0*(t-\tau)+\frac{1}{2}S*(t-\tau)^2+\phi_0)} ej2π(f0​∗(t−τ)+21​S∗(t−τ)2+ϕ0​)

由FMCW框图中可知雷达的发射信号与接收信号会进行混频得到一个中频信号，针对单个静止目标可知中频信号是一个单频信号，表达式为 e j 2 π ( S ∗ 2 R C ) ∗ t e^{j2\pi(S*\frac{2R}{C})*t} ej2π(S∗C2R​)∗t

如果是运动的目标，假设目标初始时刻位于 R 0 R_0 R0​处，且以速度 v v v远离雷达而去，则 t t t时刻目标离雷达距离为 R = R 0 + v ∗ t R = R_0 + v*t R=R0​+v∗t，则接收信号的时延是 τ = 2 ∗ ( R 0 + v ∗ t ) C \tau = \frac{2*(R_0 + v*t)}{C} τ=C2∗(R0​+v∗t)​

则接收信号表达式为 e j 2 π [ f 0 ∗ ( t − 2 ∗ ( R 0 + v ∗ t ) C ) + 1 2 S ∗ ( t − 2 ∗ ( R 0 + v ∗ t ) C ) 2 + ϕ 0 ] e^{j2\pi[f_0*(t-\frac{2*(R_0 + v*t)}{C})+\frac{1}{2}S*(t-\frac{2*(R_0 + v*t)}{C})^2+\phi_0]} ej2π[f0​∗(t−C2∗(R0​+v∗t)​)+21​S∗(t−C2∗(R0​+v∗t)​)2+ϕ0​]

中频信号表达式为 S I F = e j 2 π ( f 0 ∗ τ − 1 2 ∗ S ∗ τ 2 + S ∗ t ∗ τ ) = e j 2 π ( f 0 ∗ 2 ∗ ( R 0 + v ∗ t ) C − 1 2 ∗ S ∗ 2 ∗ ( R 0 + v ∗ t ) C 2 + S ∗ t ∗ 2 ∗ ( R 0 + v ∗ t ) C ) S_{IF} = e^{j2\pi(f_0*\tau - \frac{1}{2}*S*\tau^2 + S*t*\tau)} = e^{j2\pi(f_0*\frac{2*(R_0 + v*t)}{C} - \frac{1}{2}*S*\frac{2*(R_0 + v*t)}{C}^2 + S*t*\frac{2*(R_0 + v*t)}{C})} SIF​=ej2π(f0​∗τ−21​∗S∗τ2+S∗t∗τ)=ej2π(f0​∗C2∗(R0​+v∗t)​−21​∗S∗C2∗(R0​+v∗t)​2+S∗t∗C2∗(R0​+v∗t)​)
由上诉表达式可以看到此时中频信号仍然是一个频率随时间变化的脉冲。但是由于处理时间极短(通常只有us级别，可以忽略t的高此项)，最后可以等下列表达式

S I F ≈ e j 2 π ( 2 v f 0 t + 2 S R 0 t + 2 R 0 f 0 C ) S_{IF} \approx e^{j2\pi(\frac{2vf_0t+2SR_0t+2R_0f_0}{C})} SIF​≈ej2π(C2vf0​t+2SR0​t+2R0​f0​​)

上述表达式就是一个单频信号了，与静止目标不同的地方是，此单频信号中同时含有目标速度和距离信息，通过FFT无法直接准确测量出目标的距离信息。次现象叫做“速度与距离的耦合”。

上述表达式中常数项 2 R 0 f 0 C \frac{2R_0f_0}{C} C2R0​f0​​包含次脉冲信号发射时目标的起始位置，通过连续发射多个脉冲，测量脉冲间的初始相位差，就可以用来测速。

距离测量

目标距离检测基本原理

假设中频信号是一个单频信号（针对单个静止目标），距离为 R = C ∗ f I F 2 ∗ S R = \frac{C*f_{IF}}{2*S} R=2∗SC∗fIF​​。推导如下

假设中频信号是一个单频信号（针对单个静止目标），则其中频信号表达式为 f I F = e j 2 π ∗ ( S ∗ 2 ∗ R C ) ∗ t f_{IF} = e^{j2\pi*(S*\frac{2*R}{C})*t} fIF​=ej2π∗(S∗C2∗R​)∗t

通过FFT计算可得中频信号频率为 f I F = 2 ∗ S ∗ R C f_{IF} = \frac{2*S*R}{C} fIF​=C2∗S∗R​

从而求得距离表达式为 R = C ∗ f I F 2 ∗ S R = \frac{C*f_{IF}}{2*S} R=2∗SC∗fIF​​

对于多个目标的情况可以由单个目标情况很自然的得出，在不同距离上均有一个静止目标，他们都会对雷达信号进行反射，这是中频信号接收到的信号是由多个单频信号叠加而来，可以通过FFT轻松的得到多个单频信号，每个单频信号都对应着一个目标的距离，且距离与频率是成正比的，即频率越大，距离越远。

距离分辨率

距离分辨率表达式为 Δ R > C 2 ∗ B \Delta R >\frac{C}{2*B} ΔR>2∗BC​。推导如下

由于目标距离是通过中频信号频谱计算而来的，那么FFT的分辨率将影响中频信号频谱的分辨率，从而影响距离分辨率。

已知，若信号观察时间为 T T T，那么FFT运算之后的频率分辨率为 1 T \frac{1}{T} T1​。

设两目标距离 Δ R \Delta R ΔR,那么中频信号频率差为 Δ f I F = 2 ∗ S ∗ Δ R c > 1 T \Delta f_{IF} = \frac{2*S*\Delta R}{c} > \frac{1}{T} ΔfIF​=c2∗S∗ΔR​>T1​

将 S = B T S = \frac{B}{T} S=TB​带入计算可得 Δ R > C 2 ∗ B \Delta R > \frac{C}{2*B} ΔR>2∗BC​

可见雷达对目标距离的分辨率是由发射信号的带宽决定的，增加带宽，将会获得更好的距离分辨率。但是增加了带宽，会导致中频信号提高，需要更高的ADC采样率才能完成采样。

思考

对于上述图片，Chirp A 和 Chirp B 具有相同的带宽，Chirp A的脉冲持续时间是Chirp B的两倍。

• 由于距离相同的带宽，根据距离分辨率公式 Δ R = C 2 B \Delta R = \frac{C}{2B} ΔR=2BC​，所以Chirp A 和Chirp B具有相同的距离分辨率。

• 在测量相同距离 d M a x d_{Max} dMax​的情况下，Chirp A 的采样率可以是Chirp B 的一半。Chirp B具有仅需要一半测量时间的优势