互补滤波器
从 RC 电路 到 数字滤波器 。
参考：wikiPedia
by luoshi006
原理
低通滤波器
一阶低通滤波器
传递函数
常见的 RC 电路构成的一阶低通滤波器的输入(U) 输出(Y)关系如下：
YU=11+RC⋅S
Y
U
=
1
1
+
R
C
⋅
S
其中，滤波器的截止频率为：
wc=1RC
w
c
=
1
R
C
。
将传函转换为微分形式：
y(t)+RCdy(t)dt=x(t)
y
(
t
)
+
R
C
d
y
(
t
)
d
t
=
x
(
t
)
dy(t)dt=差分=y(k)−y(k−1)Δt
d
y
(
t
)
d
t
=
差
分
=
y
(
k
)
−
y
(
k
−
1
)
Δ
t
，代入得到差分形式：
y(k)=RCΔt+RCy(k−1)+ΔtΔt+RCx(k)
y
(
k
)
=
R
C
Δ
t
+
R
C
y
(
k
−
1
)
+
Δ
t
Δ
t
+
R
C
x
(
k
)
由近似公式：
11+Δt/RC=˙1−ΔtRC
1
1
+
Δ
t
/
R
C
=
˙
1
−
Δ
t
R
C
可得：
y(k)=(1−ΔtRC)y(k−1)+ΔtRCx(k)
y
(
k
)
=
(
1
−
Δ
t
R
C
)
y
(
k
−
1
)
+
Δ
t
R
C
x
(
k
)
即，一阶低通滤波的差分形式。
二阶低通滤波
过程略；
y(k)=2(1+σΔt)1+2σΔt+ω20Δt2y(k−1)−11+2σΔt+ω20Δt2y(k−2)+ω20Δt21+2σΔt+ω20Δt2x(k)
y
(
k
)
=
2
(
1
+
σ
Δ
t
)
1
+
2
σ
Δ
t
+
ω
0
2
Δ
t
2
y
(
k
−
1
)
−
1
1
+
2
σ
Δ
t
+
ω
0
2
Δ
t
2
y
(
k
−
2
)
+
ω
0
2
Δ
t
2
1
+
2
σ
Δ
t
+
ω
0
2
Δ
t
2
x
(
k
)
其中，
σ=R2L,ω20=1LC
σ
=
R
2
L
,
ω
0
2
=
1
L
C
。
高通滤波器
依然使用RC电路为模型。
传递函数为：
G(s)=11+1RC⋅S
G
(
s
)
=
1
1
+
1
R
C
⋅
S
=RC⋅SRC⋅S+1
=
R
C
⋅
S
R
C
⋅
S
+
1
******************* 内容仅作参考 *******************************
由 $s=\frac {Z-1}{T}$变换：
$$U\cdot RC \cdot Z - U\cdot RC=Y\cdot RC \cdot Z- Y\cdot RC+Y\cdot T$$
Z反变换：
$$Y(k+1)=U(k+1)-U(k)+(1-\frac{T}{RC}) Y(k)$$
将传函转化为微分形式：
RC⋅dy(t)dt+y(t)=RC⋅dx(t)dt
R
C
⋅
d
y
(
t
)
d
t
+
y
(
t
)
=
R
C
⋅
d
x
(
t
)
d
t
转换为差分形式：
y(k)=RCRC+Ty(k−1)+RCRC+T(x(k)−x(k−1))
y
(
k
)
=
R
C
R
C
+
T
y
(
k
−
1
)
+
R
C
R
C
+
T
(
x
(
k
)
−
x
(
k
−
1
)
)
互补滤波器
综上，可知：
低通滤波器：
y(k)=RCRC+Ty(k−1)+TRC+Tx(k)
y
(
k
)
=
R
C
R
C
+
T
y
(
k
−
1
)
+
T
R
C
+
T
x
(
k
)
高通滤波器：
y(k)=RCRC+T[y(k−1)+Δx(k)]
y
(
k
)
=
R
C
R
C
+
T
[
y
(
k
−
1
)
+
Δ
x
(
k
)
]
故，互补滤波器：
y(k)=RCRC+T[y(k−1)+Δxgyro(k)]+TT+RCxacc(k)
y
(
k
)
=
R
C
R
C
+
T
[
y
(
k
−
1
)
+
Δ
x
g
y
r
o
(
k
)
]
+
T
T
+
R
C
x
a
c
c
(
k
)
angle = (factor) * (angle + gyro * dt ) + (1 - factor) * (x_acc);
其中，factor 为互补滤波因子，定义域：( 0 , 1 )。
the end
本文简单介绍了一阶互补滤波的理论和实现，以期望对刚开始接触数字滤波的朋友有所帮助。
互补滤波使用较多的 mahony 滤波，限于篇幅，另外介绍。
如果在文中，发现错误或不妥当的地方，请直接留言，或 邮箱 交流。不胜感激~
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