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引子
如何判断两条直线是否相交？
这很容易。平面直线，无非就是两种关系：相交 或 平行。因此，只需判断它们是否平行即可。而直线平行，等价于它们的斜率相等，只需分别计算出它们的斜率，即可做出判断。
但倘若我把“直线”换成“线段”呢——如何判断两条线段是否相交？
这就有些难度了。和 直线 不同，线段 是有固定长度的，即使它们所属的两条直线相交，这两条线段也不一定相交。
也许你会说：分情况讨论不就行了嘛：
先计算两条线段的斜率，判断是否平行。若平行，则一定不相交。
若不平行，求出两条线段的直线方程，联立之，解出交点坐标。
运用定比分点公式，判断交点是否在两条线段上。
的确，从理论上这是一个可行的办法，这也是人们手动计算时普遍采用的方法。
然而，这个方法并不怎么适用于计算机。原因如下：
那么，有更好的方法？
当然有。
对于“判断两条直线是否相交”这个问题，我们之所以能迅速而准确地进行判断，是因为“相交”与“不相交”这两个状态有着明显的不同点，即 斜率是否相等。
那么现在，为了判断两条线段是否相交，我们也要找出“相交”与“不相交”这两个状态的不同点。
假设现在有两条线段 AB 和 CD，我们画出它们之间的三种关系：
其中，情况 1 为不相交，情况 2、3 为相交。
作出向量 AC、AD、BC、BD。
首先介绍一个概念： 向量有序对的旋转方向。这个概念指：对于共起点有序向量二元组 (a, b)，其旋转方向为 使 a 能够旋转一个小于 180 度的角并与 b 重合的方向，简记为 direct(a, b)。若 a 和 b 反向共线，则旋转方向取任意值。
举个例子：下图中，direct(AC, AD) 为顺时针方向。
接下来我们要分析四个值：direct(AC, AD)、direct(BC, BD)、direct(CA, CB)、direct(DA, DB)。
对于图一，direct(AC, AD) 和 direct(BC, BD) 都为顺时针，direct(CA, CB) 为逆时针，direct(DA, DB) 为顺时针。
对于图二，direct(AC, AD) 为顺时针，direct(BC, BD) 为任意方向，direct(CA, CB) 为逆时针，direct(DA, DB) 为顺时针。
对于图三，direct(AC, AD)、direct(DA, DB) 为顺时针，direct(BC, BD)、direct(CA, CB) 为逆时针。
不难发现，两条线段相交的充要条件是：direct(AC, AD) != direct(BC, BD) 且 direct(CA, CB) != direct(DA, DB)。这便是“相交”与“不相交”这两个状态的不同点。
然而你可能会觉得：旋转方向这么一个虚无飘渺的东西，怎么用程序去描述啊？
再来看一幅图：
再来定义有向角：
有向角
<a, b>为 向量a逆时针 旋转到与 向量b重合所经过的角度。
不难看出，对于向量 a、b：
direct(a, b) 为逆时针，则 0 <= <a, b> <= 180，从而 sin<a, b> >= 0。direct(a, b) 为顺时针，则 180 <= <a, b> <= 360，从而 sin<a, b> <= 0。这样一来，我们可以将旋转方向的问题转化为 求有向角正弦值 的问题。而这个问题，是很容易的。
如上图，记
O
A
=
(
x
1
,
y
1
)
,
O
B
=
(
x
2
,
y
2
)
OA = (x_1, y_1), OB = (x_2, y_2)
OA=(x1,y1),OB=(x2,y2)
∣
O
A
∣
=
r
1
,
∣
O
B
∣
=
r
2
|OA| = r_1, |OB| = r_2
∣OA∣=r1,∣OB∣=r2
则
s
i
n
(
<
O
A
,
O
B
>
)
sin(\lt OA, OB\gt)
sin(<OA,OB>)
=
s
i
n
θ
= sin \theta
=sinθ
=
s
i
n
(
α
−
β
)
= sin (\alpha - \beta)
=sin(α−β)
=
s
i
n
α
c
o
s
β
−
s
i
n
β
c
o
s
α
= sin \alpha cos \beta - sin \beta cos \alpha
=sinαcosβ−sinβcosα
=
(
s
i
n
α
c
o
s
β
−
s
i
n
β
c
o
s
α
)
⋅
r
1
⋅
r
2
r
1
⋅
r
2
= \frac{(sin \alpha cos \beta - sin \beta cos \alpha) \cdot r_1 \cdot r_2}{r_1 \cdot r_2}
=r1⋅r2(sinαcosβ−sinβcosα)⋅r1⋅r2
=
x
1
⋅
y
2
−
x
2
⋅
y
1
r
1
⋅
r
2
= \frac{x_1 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1} {r_1 \cdot r_2}
=r1⋅r2x1⋅y2−x2⋅y1
而这里，我们要的只是 sin(<OA, OB>) 的符号，而 r1 和 r2 又都是恒正的，因此只需判断 x1 * y2 - x2 * y1 的符号即可。
这个方法的数学背景是 叉乘，可以前往 Wikipedia 了解更多。
由点 A，B，C，D 计算出向量 AC，AD，BC，BD
计算 sin(<AC, AD>) * sin(<BC, BD>) 和 sin(<CA, CB>) * sin(<DA, DB>)，若皆为非正数，则相交；否则，不相交。