递归算法无法在指定时间内完成测试

2024-04-25

我正在进行一项测试,需要二进制断层扫描算法。提供了一组 38 个测试值来测试正确性,但完成所有测试也有 1 CPU 秒的时间限制。问题如下:

如果存在 m×n 矩阵 A,且每个元素为 0 或 1,则输出“Yes”,使得

否则输出“否”。

对于每个测试,提供 2 个数组:

  1. r(矩阵中每行的总和)
  2. c(矩阵中每列的总和)

在等式中:

  • m是的长度r数组,其中1
  • n是的长度c数组,其中n
  • ri是一个元素r, where 0
  • cj是一个元素c, where 0

一个“是”的例子

米 = 3; n = 4; r = [2, 3, 2]; c = [1, 1, 3, 2];

一个“不”的例子

米 = 3; n = 3; r = [0, 0, 3]; c = [0, 0, 3];

我有一个解决方案,似乎可以给出正确的答案,但是在超过 1 秒 CPU 时间之前它只能管理 12 / 38 次测试。

我最初使用 ES5 编写代码,然后返回并转换为 ES3,以尝试从中获得更多性能。 (最初作为 ES5 管理 9 个测试)。对于当前的算法,我似乎没有太多可以做的来提高性能(除非我弄错了)。这让我相信我的算法有问题,并且必须有更快的算法来执行此操作。我读了很多书试图找到一个,结果很头疼:)

因此,我向社区求助,看看是否有人可以提出比我目前使用的更快的算法。

'use strict';

const ZEROS = (function (seed) {
  let string = seed;
  for (let i = 0; i < 19; i += 1) {
    string += seed;
  }

  return string;
}('00000000000000000000000000000000000000000000000000'));

const ZEROSLEN = ZEROS.length;

const permutate = function (n, ri) {
  const result = [];
  const memoize = {};
  let count = 0;
  do {
    const bin = count.toString(2);
    if (ZEROSLEN + bin.length > ZEROSLEN + n) {
      break;
    }

    if (!memoize[bin] && (bin.split('1').length - 1) === ri) {
      const string = (ZEROS + bin).slice(-n);
      const sLen = string.length;
      const perm = new Array(sLen);
      for (let i = sLen - 1; i >= 0; i -= 1) {
        perm[i] = +string[i];
      }

      memoize[bin] = result.push(perm);
    }

    count += 1;
  } while (count);

  return result;
};

const getMatrixSum = function (n, matrix) {
  const mLength = matrix.length;
  const rows = new Array(mLength);
  const a = new Array(n);
  const last = mLength - 1;
  for (let x = n - 1; x >= 0; x -= 1) {
    for (let y = last; y >= 0; y -= 1) {
      rows[y] = matrix[y][x];
    }

    let sum = 0;
    for (let i = rows.length - 1; i >= 0; i -= 1) {
      sum += rows[i];
    }

    a[x] = sum;
  }

  return a;
};

const isEqual = function (a, b) {
  const length = a.length;
  if (length !== b.length) {
    return false;
  }

  for (let i = length - 1; i >= 0; i -= 1) {
    if (a[i] !== b[i]) {
      return false;
    }
  }

  return true;
};

const addRow = function (i, prev, r, c, result) {
  if (result) {
    return result;
  }

  const n = c.length;
  const ri = r[i];
  if (ri < 0 || ri > n) {
    throw new RangeError('ri out of range');
  }

  const p = permutate(n, ri);
  const m = r.length;
  const rsLast = m - 1;
  const nextI = i + 1;
  for (let x = p.length - 1; x >= 0; x -= 1) {
    const permutation = p[x];
    const next = prev.slice();
    next.push(permutation);
    const sums = getMatrixSum(n, next);
    if (i < rsLast) {
      let memo = 0;
      for (let j = sums.length - 1; j >= 0; j -= 1) {
        if (sums[j] > c[j]) {
          memo += 1;
        }
      }

      if (!memo && addRow(nextI, next, r, c, result)) {
        return true;
      }
    } else if (isEqual(sums, c)) {
      return true;
    }
  }

  return false;
};

const isSolvable = function (r, c) {
  const m = r.length;
  const n = c.length;
  if (m < 1 || n > 1000) {
    throw new Error('Bad data');
  }

  for (let j = n; j >= 0; j -= 1) {
    const cj = c[j];
    if (cj < 0 || cj > m) {
      throw new RangeError('cj out of range');
    }
  }
  
  return addRow(0, [], r, c, false) ? 'Yes' : 'No';
};

console.log(isSolvable([2, 3, 2], [1, 1, 3, 2]));

console.log(isSolvable([0, 0, 3], [0, 0, 3]));

值得注意的是,测试是在 SpiderMonkey 版本 JavaScript-C24.2.0 上运行的

Refs:

https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_tomography https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_tomography

https://open.kattis.com/problems/tomography https://open.kattis.com/problems/tomography


由于排列会产生暴力,因此在开发与此类似的算法时,它们应该是最后的手段。大多数时候不需要它们。

正如我上面评论的那样,我有一种感觉,一个策略可以是首先对r and c数组降序排列,从较大的数组开始。我还没有时间实现 JS 代码来解决这个问题,所以我没有机会进行彻底的测试。请看一下,如果发现缺陷请指出。

在下面我们尝试的算法的视觉表示中r = [1,3,1,3] and c = [3,2,1,2]. X表示已占用的单元格,红点表示不可触及的单元格,而空的显然是空闲单元格。因此,在表示单元格的实际算法中,我们需要像这样的数据类型{value: false, avail: false}一个红点{value: false, avail: true}意味着一个自由空间。或者为了节省空间和速度,您可以使用类似的数据类型0b00对于红点,0b01以获得可用空间和0b1X对于被占用的(X在这里表示不关心)单元格。

Note:值得一提的是我们处理的第 3 步c[0]。我们插入三个之后X我们必须检查被占用的行Xs 更新这些行中空单元格的状态。在这种情况下,对于 r[2],所有空单元格都变得不可触及。

Edit:

好吧..好吧,因为我们不需要在类似二维数组的结构中构建解决方案,而只需要回答所提供的数据是否有意义,所以我提出了另一个更简单的想法,它基本上基于上述方法。我真的不认为它能比这更快。它在大约 50 毫秒内解决了 999 x 1000 板的问题。

让我们开始吧。

  1. 输入是r = [2, 3, 2]; c = [1, 1, 3, 2];然而这里有一个重要的条件是both c and r数组的总和应该相同。我们可以简单地在代码开头检查这一点,或者保留它,执行以下步骤,如果它们通过,则仅在以下情况下进行检查:c满是 0。以下代码更喜欢后一种方法。
  2. Sort r如此下降;r = [3, 2, 2]; c = [1, 1, 3, 2];
  3. 尝试减少r[0](第一种情况为 3)许多非零元素c1.现在c变成[0, 0, 2, 2]。如果失败则不再尝试并返回false.
  4. 现在我们已经完成了行r[0],递归调用函数r = [2, 2]; c = [0, 0, 2, 2]; while r.length大于 0 且 bool 参数b is true。下一次通话将是r = [2]; c = [0, 0, 1, 1];最后r = []; c = [0, 0, 0, 0];
  5. 如果最终递归调用为空r被调用然后检查b is true以及所有项目c are 0. (b && cs.every(n => !n)).

我相信这很好,但由于我没有你的测试用例,所以你可以尝试一下。我相信它会通过时间考验。这是最简单的代码。我在这里测试rs = [7,3,5,4,6,2,8] and cs = [7,1,6,3,4,5,2,7]。看起来像;

  71634527
7 x xxxxxx
3 x x    x
5 x x xx x
4 x x  x x
6 x xxxx x
2 x      x
8 xxxxxxxx
function nonogram(rs,cs){
  function runner(rs,cs, b = true){//console.log(rs,cs,b)
    return b && rs.length ? runner(rs.slice(1),                                 // rows argument
                                   cs.map(e => rs[0] ? e ? (b = !--rs[0], e-1)  // cols argument
                                                         : e
                                                     : e),
                                   b)                                           // bool argument
                          : b && cs.every(n => !n);
  }
return runner(rs.sort((a,b) => b-a), cs);
}

var rs = [7,3,5,4,6,2,8],
    cs = [7,1,6,3,4,5,2,7],
    result;
console.time("test");
result = nonogram(rs,cs);
console.timeEnd("test");
console.log(result);
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