在介绍位图之前先来看一道面试题吧
给 40 亿个不重复的无符号整数，没排过序。给一个无符号整数，如何快速判断一个数是否在这 40 亿个数中。
对于判断一个数是否在某一堆数中，主要有以下方法：
find 函数判断该数是否在这一堆数中。对于上面两种方法，第一种的时间复杂度是 O ( N l o g N ) O(NlogN) O(NlogN)，第二种的时间复杂度是 O ( N ) O(N) O(N)。
但是有一个问题，题目给的是 40 亿个无符号的整数，如果把这些数全部加载到内存当中，那么将会占用 16G 的空间，空间消耗是很大的。因此，上面这两种方法都是不可行的。
那么怎么来解决呢？很简单，我们可以用位图（bitset）来解决！
对于数据是否在给定的整形数据中，只需要判断在或者不在，刚好是两种状态，那么可以使用一个 二进制比特位 来代表数据是否存在的信息，如果二进制比特位为 1，代表存在；如果比特位为 0，代表不存在。
如下图所示，对于 arr 集合里面的数据，我们只需要用 3 个字节（24 个 bit 位）的大小即可表示：
那么对于 40 亿个无符号的整型数据来说，无符号整数总共有 2 32 2^{32} 232 个，因此记录这些数字就需要 2 32 − 1 2^{32-1} 232−1 个比特位（比特位是从 0 开始的，所以要减 1），也就是大约 500M 的内存空间，内存消耗大大减少。
所谓位图，就是用每一位来存放某种状态，适用于海量数据，数据无重复的场景。通常是用来判断某个数据存不存在的。
位图的定义需要一段连续的物理空间，所以可以拿 vector 来存储，另外，对于位图的存储，我们是不能控制 bit 位的，但是我们可以控制 字节，那么就可以把 char 或者 int 存在数组里面去。
假设数组里面存储的是 char，那么 1 个 char 就代表 8 个 bit 位。
位图的类如下：
// N个比特位的位图
template<size_t N>
class BitSet
{
public:
// 构造函数
BitSet();
// 设置指定位（将x映射的位标记成1）
void set(size_t x);
// 清空指定位（将x映射的位标记成0）
void reset(size_t x);
// 获取指定位的状态
bool test(size_t x);
// 容纳的比特位的个数
size_t size()
//打印函数
void Print()
private:
vector<char> _bits; // vector数组里面存的是一个char类型
};
在构造位图时，我们需要根据所给位数 N，创建一个 N 位的位图，并且将该位图中的所有位都初始化为 0。
但是一个 char 有 8 个比特位，因此 N 个位的位图就需要用到 N / 8 个 char 类型，但是实际我们所需的 char 个数是 N/8+1，为什么呢？因为所给非类型模板参数 N 的值可能并不是 8 的整数倍。
举个例子，当 N 为 10 的时候，那么 10 / 8 = 1 相当于只开了 1 个 char 类型，那如果我去访问第 9 个 和 第 10 个 bit 位的话，不就越界了吗？
所以要 N/8+1，我知道有人肯定会担心浪费空间，我想说的是，当 N 是 8 的倍数时，可以被整除，那么此时也就才浪费 1 个 char 也就是 8 个 bit 位而已，所以无伤大雅。
代码示例
// 构造函数
BitSet()
{
// +1保证了足够的比特位，最多浪费8个
_bits.resize(N / 8 + 1, 0);
}
set 接口就是用来把 x 映射的位标记成 1，并且不能影响其它比特位，那么我怎么知道 x 映射的比特位在哪儿呢？
很简单，方法如下：
x / 8 = i 计算 x 应该存储在数组的第 i 个 char 对象中x % 8 = j 计算 x 应该存储在第 i 个 char 中的第 j 个比特位上i 个 char 对象的第 j 个比特位设置为 1 即可前两步很简单，对于第三步，如何设置呢？
很简单，先将数字 1 左移 j 位后，再和第 i 个 char 对象也就是 _bits[i] 进行 或运算 即可
举个例子，我们现在要把数字 19 映射在位图上。
第一步，先用 19 / 8 = 2 得出要存在数组的第 2 个 char 对象中。
第二步，再用 19 % 8 = 3 得出要存在第 3 个比特位上
第三步，先将数字 1 左移 3 位得到：1 << 3 = 00001000 = 8，然后再和 bits[2] 进行 或运算 得出结果：
代码示例
// 设置指定位（将x映射的位标记成1）
void set(size_t x)
{
// x映射的比特位在第几个char对象
size_t i = x / 8;
// x在char第几个比特位
size_t j = x % 8;
// 先左移，再进行或运算
_bits[i] |= (1 << j);
}
reset 接口就是用来把 x 映射的位标记成 0，并且不能影响其它比特位。
很简单，方法如下：
x / 8 = i 计算 x 应该存储在数组的第 i 个 char 对象中x % 8 = j 计算 x 应该存储在第 i 个 char 中的第 j 个比特位上i 个 char 对象的第 j 个比特位设置为 0 即可前两步很简单，对于第三步，如何设置呢？
很简单，先将数字 1 左移 j 位后，然后再对其进行 按位取反，最后再和第 i 个 char 对象也就是 _bits[i] 进行 与运算。
我们还是举个例子，我们现在要把数字 19 从映射的位置上清除掉。
第一步，先用 19 / 8 = 2 得出要存在数组的第 2 个 char 对象中。
第二步，再用 19 % 8 = 3 得出要存在第 3 个比特位上
第三步，先将数字 1 左移 3 位得到：1 << 3 = 00001000 = 8，然后再把数字 8 进行按位取反得到：~8 = 11110111，然后再和 bits[2] 进行 与运算 得出结果即可。
注意：因为在设置指定位的时候，数字 19 已经被存储在 bits[2] 上了，所以 bits[2] 的比特位不是全为 0 哦！
代码示例
// 清空指定位（将x映射的位标记成0）
void reset(size_t x)
{
// x映射的比特位在第几个char对象
size_t i = x / 8;
// x在char第几个比特位
size_t j = x % 8;
// 先左移，再按位取反，最后进行与运算
_bits[i] &= (~(1 << j));
}
test 用来获取位图中指定的位的状态，要么是 1，要么是 0。
很简单，方法如下：
x / 8 = i 计算 x 应该存储在数组的第 i 个 char 对象中x % 8 = j 计算 x 应该存储在第 i 个 char 中的第 j 个比特位上i 个 char 对象的第 j 个比特位的状态
前两步很简单，对于第三步，如何判断呢？
很简单，先将数字 1 左移 j 位后，再和第 i 个 char 对象也就是 _bits[i] 进行 与运算。
我们还是举个例子，假设数字 19 已经被映射到位图上去了，我们现在要判断数字 19 在不在上面。
第一步，先用 19 / 8 = 2 得出要存在数组的第 2 个 char 对象中。
第二步，再用 19 % 8 = 3 得出要存在第 3 个比特位上
第三步，先将数字 1 左移 3 位得到：1 << 3 = 00001000 = 8，然后再和 bits[2] 进行 与运算 得出结果即可。
代码示例
// 获取指定位的状态
bool test(size_t x)
{
// x映射的比特位在第几个char对象
size_t i = x / 8;
// x在char第几个比特位
size_t j = x % 8;
// 先左移，再进行与运算，最后直接返回与运算的结果即可
return _bits[i] & (1 << j);
}
最后可以实现一个打印函数 Print，用来检查我们上述代码的正确性。
对于 Print 函数的实现，也很简单，只需要遍历位图所包含的比特位进行打印即可。在打印位图的过程中可以顺便统计位图中位的个数 count，然后将 count 与我们传入的非类型模板参数 N 进行比较，可以判断位图大小是否是符合我们的预期。
代码示例
// 容纳的比特位的个数
size_t size()
{
return N;
}
//打印函数
void Print()
{
int count = 0;
size_t n = _bits.size();
// 先打印前n-1个数
for (size_t i = 0; i < n - 1; i++)
{
for (size_t j = 0; j < 8; j++)
{
if (_bits[i] & (1 << j)) //该位被设置
cout << "1";
else //该位未被设置
cout << "0";
count++;
}
}
// 再打印最后一个数的前(N%8)位
for (size_t j = 0; j < N % 8; j++)
{
if (_bits[n - 1] & (1 << j)) //该位被设置
cout << "1";
else //该位未被设置
cout << "0";
count++;
}
cout << "\n" << count << endl; //打印总共打印的位的个数
}
然后我们测试一组数据
测试第二组数据
其实对于位图在 C++ 库里面是已经实现好了的：位图文档，它是 STL 的一个模板类，它的参数是整形的数值，使用位的方式和数组区别不大，相当于只能存一个位的数组。
以及各种常用接口
主要的功能如下：
最后，说几个位图的应用场景：