为什么使用牛顿法的 FindMaximum 会抱怨找不到足够的函数减少？

首先，这看起来（来自 ContourPlot）是一个相当简单的最大化问题，为什么使用牛顿法的 FindMaximum 会出现问题？

其次，如何摆脱警告？

第三，如果我无法摆脱这些警告，我如何判断警告是否有意义，即最大化失败？

例如，在下面的代码中，使用 Newton 方法的 FindMaximum 会发出警告，而 PrimaryAxis 方法则不会

o = 1/5 Log[E^(-(h/Sqrt[3]))/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + 
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + 
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] + 
   3/10 Log[E^(h/Sqrt[3])/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + 
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + 
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] + 
   1/5 Log[E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + 
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + 
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] + 
   1/10 Log[E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + 
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + 
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] + 
   1/10 Log[E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + 
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + 
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] + 
   1/10 Log[E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + 
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + 
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))];
(* -1 makes more contours towards maximum *)

contourFunc[n_, p_] := Function[{min, max},
   range = max - min;
   Table[Exp[p (x - 1)] x range + min, {x, 0, 1, 1/n}]
   ];
cf = contourFunc[10, -1];
ContourPlot @@ {o, {j, -1, 1}, {h, -1, 1}, Contours -> cf}

FindMaximum @@ {o, {{j, 0}, {h, 0}}, Method -> "Newton"}
FindMaximum @@ {o, {{j, 0}, {h, 0}}, Method -> "PrincipalAxis"}  

请注意，我认为可能其中一个组件的方向上的梯度为 0 是问题所在，但如果我扰乱初始点，我仍然会收到相同的警告，这是一个示例

o = 1/5 Log[E^(-(h/Sqrt[3]))/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + 
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + 
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] + 
   1/5 Log[E^(h/Sqrt[3])/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + 
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + 
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] + 
   1/10 Log[E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + 
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + 
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] + 
   3/10 Log[E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + 
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + 
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] + 
   1/10 Log[E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + 
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + 
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] + 
   1/10 Log[E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + 
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + 
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))];
ContourPlot @@ {o, {j, -1, 1}, {h, -1, 1}}
FindMaximum @@ {o, {{j, -0.008983550852535105`}, {h, 
    0.06931364191023386`}}, Method -> "Newton"}
  

从数学上讲，我不确定牛顿方法失败的确切原因，但中的例子的文档FindMaximum http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/FindMaximum.html#ExampleSection在下面指出这个具体问题和错误消息可能的问题: "使用机器精度算术，即使具有平滑最大值的函数也可能看起来很坎坷".

因此，如果您通过例如提高工作精度这WorkingPrecision -> 20选项FindMaximum警告消失：

In[25]:= FindMaximum[o, {{j, 0}, {h, 0}}, Method->"Newton", WorkingPrecision->20]

Out[25]= {-2.0694248079871222533, {j -> -0.14189560954670761863, h -> 0}}

鉴于错误的文本具有相当的描述性：

FindMaximum::lstol：线搜索将步长减小到容差范围内 由 AccuracyGoal 和 PrecisionGoal 指定，但无法找到足够的增量 在函数中。您可能需要超过 MachinePrecision 位数的工作精度 满足这些公差。 >>

...我怀疑牛顿的方法无法使用机器精度算术达到误差足够小的固定点。

正如错误消息提示的那样，您可以使用AccuracyGoal如果您不想切换到较慢的高精度算术，则可以使用选项来指定解决方案中所需的有效位数：

In[27]:= FindMaximum[o, {{j, 0}, {h, 0}}, Method -> "Newton", AccuracyGoal -> 5]

Out[27]= {-2.06942, {j -> -0.141896, h -> -2.78113*10^-17}}

希望有帮助！