本文来自对知乎文章如何入门自动控制的一些理解
首先来看几个概念：
带宽频率也称为闭环截止频率，是指当闭环幅频特性下降到频率为零时的分贝值以下3dB时，对应的频率，记作 w b w_b wb;
开环截止频率也称为剪切频率，是闭环系统的开环幅频特性中，幅频特性曲线穿越0dB线的频率，记为 w c w_c wc；
开环截止频率与闭环截止频率具有同向性:对一个闭环系统而言，其开环截止频率与闭环截止频率是两个完成不同的物理量，但它们之间又存在一定的相关性，即：开闭截止频率与其单位负反馈的闭环截止频率是同向增大的。且具有如下关系： w b > w c w_b>w_c wb>wc。
下面首先通过一个例子来说明截止频率对系统性能的影响，最后再总结带宽对系统的影响：
以经典的弹簧阻尼系统为例，首先列写动力学方程：
m d 2 x d t 2 = F ( t ) − b d x d t − k x m\frac{d^2x}{dt^2}=F(t)-b\frac{dx}{dt}-kx mdt2d2x=F(t)−bdtdx−kx
即：惯性力+阻尼力+弹性力=外界激励
其中 b = 2 b=\sqrt{2} b=2 为阻尼系数， k = 1 k=1 k=1为弹簧弹性系数，将上式写成微分方程的形式：
X ( s ) F ( s ) = 1 s 2 + 2 s + 1 = w n 2 s 2 + 2 ζ w n s + w n 2 \frac{X(s)}{F(s)}=\frac{1}{s^2+\sqrt{2}s+1}=\frac{w_n^2}{s^2+2\zeta w_ns+w_n^2} F(s)X(s)=s2+2 s+11=s2+2ζwns+wn2wn2
现在假设用一个交变的正弦力
F
(
t
)
=
F
0
s
i
n
(
w
t
)
F(t)=F_0sin(wt)
F(t)=F0sin(wt)去激励这个弹簧振子，会出现什么响应呢呢？从之前的博客频域分析基础得到的结果：当给LTI系统一个正弦激励时，其响应也是一个正弦，而且频率不变。具体见下图：
改变输入信号的频率，得到的输出信号也只有幅值和相位的变化，信号频率始终不变，如下如所示：
我们画出系统的bode图如下：
可以看到，当频率小于
1
r
a
d
/
s
1rad/s
1rad/s时，幅值响应增益基本为1，也就是幅值基本和输入一致，相位落后约
0
−
90
d
e
g
0~-90deg
0 −90deg。当频率大于
1
r
a
d
/
s
1rad/s
1rad/s时，幅值响应开始迅速衰减，当频率增加至
100
r
a
d
/
s
100rad/s
100rad/s时，幅值响应为
−
40
d
B
-40dB
−40dB，也就是输入幅值的1%，相位落后接近180°。
可见，对于一个一般的线性时不变系统（LTI），系统具有低通特性；
我们把对应幅值响应
20
l
g
∣
A
o
u
t
/
A
i
n
∣
=
20
l
g
∣
0.707
∣
=
−
3
d
B
20lg|A_{out}/A_{in}|=20lg|0.707|=-3dB
20lg∣Aout/Ain∣=20lg∣0.707∣=−3dB时的频率称之为截止频率(
w
c
=
1.27
r
a
d
/
s
w_c=1.27rad/s
wc=1.27rad/s)，低于这个频率的系统能通过，高于这个频率的，系统会有较大幅度的过滤，幅值输出很小。特殊地，对于一个二阶系统，当阻尼比
ζ
=
1
2
\zeta=\frac{1}{\sqrt{2}}
ζ=2
1时，自然频率
w
n
w_n
wn就代表了系统的截止频率。
举个例子：输入有两个正弦函数组成：
u
=
s
i
n
(
0.5
w
n
t
)
+
s
i
n
(
10
w
n
t
)
u=sin(0.5w_n t)+sin(10w_n t)
u=sin(0.5wnt)+sin(10wnt)，一个分量为截止频率一半，另一个分量是截止频率的10倍，观察系统的输出：
由上图可以看出， 0.5 w c 0.5w_c 0.5wc频率的分量能较好的通过，而 10 w c 10w_c 10wc频率分量则基本被过滤掉了。这是两个频率分量的情况，那假如更复杂一些的输入呢？比如常见的阶跃信号：
首先我们对系统的阶跃响应做频谱分析得到其频谱分布：
由图可知，阶跃函数在所有频率都有分量，而且随着频率的增加，其幅值越来越小，也就是低频下的分量贡献更多。假如现在输入是阶跃函数，那输出会是什么样？
（注意：
f
(
t
)
f(t)
f(t)在
t
>
0
t>0
t>0时等同于直流信号，但它又不是纯粹的直流信号，它在
t
=
0
t=0
t=0处有跳变，因此其频谱不是仅在
t
=
0
t=0
t=0处有一个冲激函数（这对应于信号的直流特性），而且还会含有其它众多的频率分量。）
我们可以得到系统的阶跃响应如下图：
输出整体来说，基本呈“阶跃”样貌，但是在细节上又有不同。现在，假如改变系统的截止频率：
如 w c = 3 r a d / s w_c=3rad/s wc=3rad/s
如
w
c
=
10
r
a
d
/
s
w_c=10rad/s
wc=10rad/s
可以看出，随着截止频率的增加，越来越多频率的分量能够通过系统，那输出也就更接近输入信号了。 控制系统中一般闭环系统居多，对闭环系统而言，其截止频率等于带宽；那么，从时域和频域的两个方面来看，系统的带宽(截止频率)越大，时域的响应速度也就越快，系统跟踪输入信号的能力就越强。当带宽无穷大时，系统可以完全复现输入信号，当然这是物理不可实现的。
