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线性二次型最优控制

2023-05-16

本文涉及的李雅普诺夫方法的内容可参见另一篇博文：李雅普诺夫（第二方法）稳定性分析

目录

  • 一、连续时间系统线性二次型最优控制
    • 1.1 问题的提出
    • 1.2 问题的分析
    • 1.3 问题求解
    • 1.4 MATLAB函数
    • 1.5 例题
  • 二、离散时间系统线性二次型最优控制
    • 2.1 自治系统
    • 2.2 闭环控制系统
  • 三、参考文献

一、连续时间系统线性二次型最优控制

1.1 问题的提出

控制器设计的目的：
（1）使得闭环系统稳定
（2）使得闭环系统具有给定的动态和稳态性能
控制器设计的方法：极点配置到左半平面；对高阶系统用配置主导极点来实现
问题：根据闭环系统的性能来决定极点配置的位置，但这个性能依赖于模型，不够直接
从阶跃响应来看，系统的动态和稳态性能好坏可以用阴影部分面积大小来衡量：
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用积分来表示：
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其中r0是阶跃输入的幅值。但是积分存在正负抵消问题，不可用。
可以取绝对值，但是绝对值不好处理，一般取平方项来处理：
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如果有多个变量，把所有的平方项加起来之后再积分：
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也可以对不同变量做加权平方和：
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其中
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称为加权矩阵。一般的形式为：
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要求Q是半正定的，为了方便也可以要求Q是正定的。
这个J就是二次型积分性能指标，它衡量了：系统稳定性、上升时间、超调、调节时间、振荡这些指标。
问题：没有考虑控制能量的消耗，即
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多个控制信号，则为：
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也可以加权，并用二次型积分性能指标来表示为：
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综上，同时考虑系统性能和控制能量要求，得到一般的积分性能指标：
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关于系统的其他信息：
连续时间系统状态空间模型：
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控制器u的设计目标：使J尽可能小。其实是优化问题，这就是线性二次型最优控制问题（linear quadratic optimal control）。

1.2 问题的分析

什么情况下这个问题可解？如果可解，怎么设计最优控制器u？如果设计好了u，闭环系统的性能怎么样，能不能保证它是渐近稳定的？
先缩小问题分析的范围：确定控制器的类型（输出反馈/状态反馈/静态反馈/动态反馈）作为前提：选用最简单的静态状态反馈控制器：
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对于上面的系统，在状态反馈控制器作用下，导出的闭环系统是：
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对应的性能指标是：
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最优控制问题整理成：
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如何求解这个优化问题是关键。

1.3 问题求解

正面分析：求解闭环系统方程，然后代入J，再求最小值。但是这种方法太过复杂了。
从目标角度分析：如果J有最小值，那么函数是有限可积的，那么在t趋于无穷的时候，x必然是趋于0，否则积分结果一定是无穷大。因此，闭环系统是渐近稳定的。进一步地，因为渐近稳定，所以存在李雅普诺夫函数：
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其中P是待定的对称正定矩阵。这个V沿闭环系统关于时间的导数应为：
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它必须是负定的。
怎么用这个条件呢？我们在原来的目标函数上做一点改变：
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主要是原来的目标函数里面只有一项含有K，不好处理，现在V的导数里也有K，可以一起处理。进一步：
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因为系统渐近稳定，x趋于0，所以V也趋于0，因此把最后一项写出来：
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因为P在后面会取一个常值，所以要优化的变量依然是K，把所有与K有关的项放在一起：
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这里K的函数结构类似于二次函数，类比二次函数配方法求极值：
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观察上面的式子，R相当于a，K应该减去一个项，作为平方项的一项，比如设：
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和上面的比较，得到：
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取最简单的情况：R、K为可逆阵，则
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代入得：
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因此，取
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的时候，带K的部分取最小值为0：
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由于P还没确定，所以K不能说是求出来了，根据现在的目标函数，可以选择合适的P，满足下面的式子，使得当前的目标也最小：
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这个方程是riccati方程。对比李雅普诺夫函数对应的李雅普诺夫方程：
A T P + P A = − Q A^TP+PA=-Q ATP+PA=−Q
可以看到，现在的式子相当于是让Q减小了。而Q反应了能量衰减的速度，说明在要求控制器最优的时候，能量衰减的速度更慢了。为了节约输入的能量，而牺牲了衰减速度，这也体现了二者的平衡。
现在的性能指标最小值为：
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综上，整体的求解步骤为：
（1）求解riccati方程，如果有一个对称正定的解P，那么
（2）得到最优解
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（3）最优闭环控制系统
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（4）性能指标最小值为
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问题：riccati方程未必有对称正定解P。就算有解，得到的P是否能成为闭环系统的李雅普诺夫矩阵，即最优闭环控制系统是否渐近稳定？
解决方案：
定理：如果(A,B)能控，则riccati方程存在对称正定解P。因此状态反馈二次型最优控制问题可解。
利用这个P，可以构造李雅普诺夫函数：
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沿闭环系统轨迹线求导：
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因此，闭环系统是稳定的。
补充：稳定化控制器的设计方法：
（1）基于李雅普诺夫稳定性理论的设计方法
适用于：时变、非线性系统
可推广到模糊控制、鲁棒控制、非线性控制
（2）极点配置方法
适用于：线性定常系统
（3）线性二次型最优控制方法

1.4 MATLAB函数

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1.5 例题

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二、离散时间系统线性二次型最优控制

2.1 自治系统

自治系统的离散时间模型：
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假设系统渐近稳定，即A的特征值都在单位圆内。系统初态x(0)已知。性能指标：
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问题：如何计算系统的性能指标值？直接计算：求无穷级数和，有点烦，只适合计算机。
解决方案：
既然系统是渐近稳定的，就有对任意正定矩阵Q，李方程
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有对称正定解P，可以构造李函数：
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和它的导数：
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把李方程
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代入指标函数得到：
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好处：通过求解李方程，就可以求出无穷级数的和。

2.2 闭环控制系统

系统模型：
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二次型性能指标：
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定理：如果(A,B)能控，那么离散系统线性二次型最优控制问题有解，最优控制器是
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P矩阵满足
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这是离散系统的riccati方程。

三、参考文献

[1] 田玉平，蒋珉，李世华．自动控制原理[M]．北京：科学出版社，2006
[2] 俞立.现代控制理论 浙江工业大学 https://www.bilibili.com/video/BV1a4411j7GF

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