滑模观测器

什么是滑模观测器

1、 滑模观测器是一类动态系统。
2、滑模观测器是指根据系统的外部变量(输入变量和输出变量)的实测值得出状态变量估计值的一类动态系统，也称为状态重构器。
3、作用：
（1）滑模观测器不但为状态反馈的技术实现提供了实际可能性，而且在控制工程的许多方面也得到了实际应用，例如复制扰动以实现对扰动的完全补偿等。
（2）滑模观测器通过测量实际系统的输入输出，可以得到给定系统内部状态的估计值。
（3）滑模观测器使用非线性高增益反馈迫使估计状态逼近超平面，使估计输出等同于测量输出。

例子

对于一个典型的带有扰动的二阶系统，其中 d i {d_{i}} di​有一阶导数， d ˙ i \dot d _{i} d˙i​有界且 − L < d ˙ i < L {-L<\dot d _{i}}<L −L<d˙i​<L

令扰动观测器为

其中

其中 0 < α i < 1 {0<\alpha _{i}}<1 0<αi​<1。 定义 ε 1 _ i = s 1 _ i − x 2 _ i {\varepsilon _{1\_i}} = {s_{1\_i}} - {x_{2\_i}} ε1_i​=s1_i​−x2_i​ and ε 2 _ i = s 2 _ i − d i {\varepsilon _{2\_i}} = {s_{2\_i}} - { d_i} ε2_i​=s2_i​−di​，由上面的式子得

改写为下面的式子
e ˙ 1 = e 2 − k 1 ∣ e 1 ∣ α + 1 2 s g n ( e 1 ) {{\dot e}_1} = {e_2} - {k_1}{\left| {{e_1}} \right|^{\frac{{\alpha + 1}}{2}}}{\mathop{\rm sgn}} \left( {{e_1}} \right) e˙1​=e2​−k1​∣e1​∣2α+1​sgn(e1​) e ˙ 2 = − k 2 ∣ e 1 ∣ α s g n ( e 1 ) − d ˙ {{\dot e}_2} = - {k_2}{\left| {{e_1}} \right|^\alpha }{\mathop{\rm sgn}} \left( {{e_1}} \right) - \dot d e˙2​=−k2​∣e1​∣αsgn(e1​)−d˙定义
V = ξ T P ξ V = {\xi ^T}P\xi V=ξTPξ，其中


微分，得

其中

考虑到

所以

所以

当满足

∥ ξ ∥ \left\| \xi \right\| ∥ξ∥会收敛到

计算 Q Q Q的最小特征值得

最终得，当


所以

而且 ∥ ξ ∥ \left\| \xi \right\| ∥ξ∥收敛的时间还是有限的,那么扰动的观测误差也将在有限时间 e 2 ≈ 0 {e_2} \approx 0 e2​≈0。