写在前面
本文使用的工具为matlab以及Peter Corke的RTB(Robotics Toolbox)。基于RTB 10.3.1版本,我写了RTE(Robotics Toolbox Extension),增加了一些移动机器人、机械臂以及路径规划相关代码。同时,RTE也修复了原RTB的一些小bug。
听说最近RTB出了10.4,不知道bug修复完没有,有用过的同学可以谈谈感想。个人建议这篇文章最好用我GitHub里的RTE工具箱,下载点这里。安装方法见README文件,写的很详细了。
本文的任务是利用matlab和RTB建模二连杆机械臂的动力学,并与matlab自带的simulink/simscape仿真进行对比,验证RTB建模的正确性。本文并不涉及控制部分,只是教大家如何建模真实的多刚体系统。
二连杆机械臂
如图1所示,我们要研究的是竖直平面上的二连杆机械臂,也可以说是双摆。因为本文不做控制,所以我们要模拟机械臂在重力的作用下运动的过程。
图1. 竖直平面上的二连杆机械臂
这里给出二连杆机械臂的动力学建模过程,之后可以代入数值验证代码正确性。
机械臂的动能为
T
(
θ
,
θ
˙
)
=
1
2
m
1
∥
v
1
∥
2
+
1
2
ω
1
T
I
1
ω
1
+
1
2
m
2
∥
v
2
∥
2
+
1
2
ω
2
T
I
2
ω
2
,
(
1
)
T(\theta,\dot \theta)=\frac{1}{2}m_1\|v_1\|^2+\frac{1}{2}\omega_1^T\mathcal I_1\omega_1+\frac{1}{2}m_2\|v_2\|^2+\frac{1}{2}\omega_2^T\mathcal I_2\omega_2,\qquad(1)
T(θ,θ˙)=21m1∥v1∥2+21ω1TI1ω1+21m2∥v2∥2+21ω2TI2ω2,(1)
其中,
I
1
\mathcal I_1
I1,
I
2
\mathcal I_2
I2是关于质心的转动惯量。
分析各连杆关于质心的位置和速度为
x
ˉ
1
=
r
1
c
1
x
ˉ
1
˙
=
−
r
1
s
1
θ
˙
1
y
ˉ
1
=
r
1
s
1
x
ˉ
1
˙
=
r
1
c
1
θ
˙
1
x
ˉ
2
=
l
1
c
1
+
r
2
c
12
x
ˉ
2
˙
=
−
(
l
1
s
1
+
r
2
s
12
)
θ
˙
1
−
r
2
s
12
θ
˙
2
y
ˉ
1
=
l
1
s
1
+
r
2
s
12
x
ˉ
1
˙
=
(
l
1
c
1
+
r
2
c
12
)
θ
˙
1
+
r
2
c
12
θ
˙
2
\begin{aligned} \bar x_1&=r_1c_1&\dot {\bar x_1}&=-r_1s_1\dot \theta_1\\ \bar y_1&=r_1s_1&\dot {\bar x_1}&=r_1c_1\dot \theta_1\\ \bar x_2&=l_1c_1+r_2c_{12}&\dot {\bar x_2}&=-(l_1s_1+r_2s_{12})\dot \theta_1-r_2s_{12}\dot \theta_2\\ \bar y_1&=l_1s_1+r_2s_{12}&\dot {\bar x_1}&=(l_1c_1+r_2c_{12})\dot \theta_1+r_2c_{12}\dot \theta_2 \end{aligned}
xˉ1yˉ1xˉ2yˉ1=r1c1=r1s1=l1c1+r2c12=l1s1+r2s12xˉ1˙xˉ1˙xˉ2˙xˉ1˙=−r1s1θ˙1=r1c1θ˙1=−(l1s1+r2s12)θ˙1−r2s12θ˙2=(l1c1+r2c12)θ˙1+r2c12θ˙2
其中,
r
1
r_1
r1,
r
2
r_2
r2是关节离重心的距离。代入式1得,
T
(
θ
,
θ
˙
)
=
1
2
[
θ
˙
1
θ
˙
2
]
T
[
α
+
2
β
c
2
δ
+
β
c
2
δ
+
β
c
2
δ
]
[
θ
˙
1
θ
˙
2
]
,
T(\theta,\dot \theta)=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} \dot \theta_1\\ \dot \theta_2 \end{bmatrix}^T\begin{bmatrix} \alpha+2\beta c_2&\delta+\beta c_2\\ \delta+\beta c_2&\delta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \dot \theta_1\\ \dot \theta_2 \end{bmatrix},
T(θ,θ˙)=21[θ˙1θ˙2]T[α+2βc2δ+βc2δ+βc2δ][θ˙1θ˙2],
其中
α
=
I
z
1
+
I
z
2
+
m
1
r
1
2
+
m
2
(
l
1
2
+
r
2
2
)
β
=
m
2
l
1
r
2
δ
=
I
z
2
+
m
2
r
2
2
。
\begin{aligned} \alpha&=\mathcal I_{z1}+\mathcal I_{z2}+m_1r_1^2+m_2(l_1^2+r_2^2)\\ \beta&=m_2l_1r_2\\ \delta&=\mathcal I_{z2}+m_2r_2^2。 \end{aligned}
αβδ=Iz1+Iz2+m1r12+m2(l12+r22)=m2l1r2=Iz2+m2r22。
参考我之前柔性机械臂建模的文章中的拉格朗日运动方程,可得
d
d
t
∂
T
∂
θ
˙
=
[
α
+
2
β
c
2
δ
+
β
c
2
δ
+
β
c
2
δ
]
[
θ
¨
1
θ
¨
2
]
+
[
−
2
β
s
2
θ
˙
2
−
β
s
2
θ
˙
2
−
β
s
2
θ
˙
2
0
]
[
θ
˙
1
θ
˙
2
]
,
∂
T
∂
θ
=
[
0
−
(
β
s
2
θ
˙
1
2
+
β
s
2
θ
˙
1
θ
˙
2
)
]
=
[
−
β
s
2
θ
˙
2
β
s
2
θ
˙
1
−
β
s
2
(
θ
˙
1
+
θ
˙
2
)
0
]
[
θ
˙
1
θ
˙
2
]
。
\begin{aligned} \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot \theta}&=\begin{bmatrix} \alpha+2\beta c_2&\delta +\beta c_2\\ \delta+\beta c_2&\delta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \ddot \theta_1\\ \ddot \theta_2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -2\beta s_2\dot \theta_2&-\beta s_2\dot \theta_2\\ -\beta s_2\dot \theta_2&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \dot \theta_1\\ \dot \theta_2 \end{bmatrix},\\ \frac{\partial T}{\partial \theta}&=\begin{bmatrix} 0\\ -(\beta s_2\dot \theta_1^2+\beta s_2 \dot \theta_1\dot \theta_2) \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -\beta s_2\dot \theta_2&\beta s_2\dot \theta_1\\ -\beta s_2(\dot \theta_1+ \dot \theta_2)&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \dot \theta_1\\ \dot \theta_2 \end{bmatrix}。 \end{aligned}
dtd∂θ˙∂T∂θ∂T=[α+2βc2δ+βc2δ+βc2δ][θ¨1θ¨2]+[−2βs2θ˙2−βs2θ˙2−βs2θ˙20][θ˙1θ˙2],=[0−(βs2θ˙12+βs2θ˙1θ˙2)]=[−βs2θ˙2−βs2(θ˙1+θ˙2)βs2θ˙10][θ˙1θ˙2]。
上面这第二步推导是真的难,我想了好久才想出来,这说明哥氏力其实表达方式不唯一。
两式相减得到
[
α
+
2
β
c
2
δ
+
β
c
2
δ
+
β
c
2
δ
]
[
θ
¨
1
θ
¨
2
]
+
[
−
β
s
2
θ
˙
2
−
β
s
2
(
θ
˙
1
+
θ
˙
2
)
β
s
2
θ
˙
1
0
]
[
θ
˙
1
θ
˙
2
]
=
[
τ
1
τ
2
]
\begin{bmatrix} \alpha+2\beta c_2&\delta +\beta c_2\\ \delta+\beta c_2&\delta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \ddot \theta_1\\ \ddot \theta_2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -\beta s_2\dot \theta_2&-\beta s_2(\dot \theta_1+ \dot \theta_2)\\ \beta s_2\dot \theta_1&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \dot \theta_1\\ \dot \theta_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \tau_1\\ \tau_2 \end{bmatrix}
[α+2βc2δ+βc2δ+βc2δ][θ¨1θ¨2]+[−βs2θ˙2βs2θ˙1−βs2(θ˙1+θ˙2)0][θ˙1θ˙2]=[τ1τ2]
重力和摩擦力很简单,它们都只与
θ
\theta
θ相关,与
θ
˙
\dot \theta
θ˙无关,这里就省略了。
RTB建模
lx = 1; lr = 0.1; % 连杆的长度和半径
gy = 9.81; % 重力加速度(这里在y轴方向,因为z轴是关节转动轴)
fvis = 0; fcou = 0; % 粘性摩擦系数和库伦摩擦系数
- 建立连杆模型
这里的Cuboid
和Cylinder
都是我自己基于RTB写的类。
rod = Cuboid([lx,lr,lr]); % 建立成长方体
Irod = rod.inertia; % 可以直接获得转动惯量
这里建立成圆柱也行,获得转动惯量时需要进行一个刚体变换。
rod = Cylinder(lr,lx);
Rcyl = SO3.rpy([0 -pi/2 0]);
Irod = Rcyl.R*rod.inertia*Rcyl.R';
% 设定dh参数,质量,关节质心距离,关节约束,转动惯量,摩擦系数
dpm = {'a', lx, 'm', rod.mass, 'r', [-lx/2,0,0],...
'qlim', [-pi/2, pi/2],'I', Irod,...
'B', fvis, 'Tc', [fcou -fcou]};
% 建立二连杆机械臂,设定回转关节和重力
r = SerialLink([Revolute(dpm{:}),Revolute(dpm{:})],...
'name','two-link','gravity',[0 gy 0]);
经过以上步骤,二连杆机械臂建模完成,设置关节角qz
,可以画出机械臂,效果如图1所示。
ws = [-4 4 -4 4 -4 4]; % 设置工作空间
plotopt = {'workspace', ws, 'nobase', 'notiles', 'noshading', 'noshadow', 'nowrist','top'}; % 设置绘图参数
h = r.plot(qz,plotopt{:});
仿真与验证
我们这里验证二连杆机械臂在重力作用下运动过程,即双摆实验。
% 给定初始关节角位置和速度
qz = zeros(1,2);
qd = zeros(1,2);
% 设定仿真时间10s
y0 = [qz,qd]'; tspan = [0 10];
% 刚体仿真用ode15s比较快,用accel函数直接获得关节加速度
tic
[tlist,ylist] = ode15s(@(t,y) [y(r.n+1:end);r.accel(y(1:r.n)',y(r.n+1:end)',zeros(1,r.n))],tspan,y0);
toc
% 差不多6s可出结果,然后画出机械臂即可
ws = [-4 4 -4 4 -4 4];
plotopt = {'workspace', ws, 'nobase', 'notiles', 'noshading', 'noshadow', 'nowrist','top'};
h = r.plot(ylist(:,1:r.n),plotopt{:});
实验结果如下图所示。
下面进行simulink/simscape的双摆仿真,对比实验如下图所示,可以看到前面几乎是同步的。
如何使用simscape搭建一个双摆系统,可以参考b站这个视频。
源代码
本文所需全部源代码已上传至我的GitHub,点击这里下载。运行two_link_test.m
即可。使用前请确认RTB已经正确安装,下载和安装说明点击这里。
使用simulink/simscape做的双摆仿真也在该仓库里,见link_test.slx
,但是需要matlab里有simscape的工具箱,否则打不开。另外matlab版本最好在2018b以上。
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