在数理方程、概率论等学科经常遇到以下的含参变量的积分
，
它们依次为第一类和第二类欧拉（Euler 1707~1783瑞士数学家）积分，或依次称为贝塔（Bata）函数和伽马（Gamma）函数，这一节主要讨论这两个函数的若干性质。
11.3.1伽马函数
显然，我们应首先考虑伽马函数
（3.1）
的收敛问题。式（3.1）右端的积分不仅是一个无穷积分，而且当
时，
还是被积函数
的一个瑕点。为此我们把它拆成两个积分。
和
注意到
是以为瑕点的瑕积分，且注意到
而
在
时是收敛的，所以也收敛（）。又因为
，有
所以，
，当
时，有
这说明积分
对于都是收敛的，总之当，积分和
同时收敛，所以积分
在收敛，从而伽马函数在有定义。
在任何
上一致收敛。事实上，
。
对
，
，而
收敛，由
判别法，关于
在一致收敛。
对
，
，而收敛，由判别法，关于在一致收敛。
由
的任意性及连续概念的局部性知，伽马函数在是连续的。
下面还可以进一步证明伽马函数的可微性，即当时各阶导数都存在，并且可由在积分号下求导得到，即
（3.2）
事实上采用证明连续性时同样的方法，可证瑕积分
与无穷积分
关于在上一致收敛，这里
且为任意正数。从而再由定理2.5和定理2.9推知式（3.2）成立。
当时，利用分部积分公式，有
即伽马函数有递推关系
（3.3）
反复运用式（3.3），得
（3.4）
公式（3.3）、（3.4）可用于逐步减小自变量的值，直到它不超过1；即伽马函数对任意的自变量值的计算，都可化为对
的值的计算。
在式（3.4）中，取
，并注意
就得到
这个式子说明伽马函数是阶乘
的推广。这就是说，把本来只对自然数有意义的函数推广到对一切正数都有意义了。
11.3.2贝塔函数
对于贝塔函数
（3.5）
采用上一小节同样方法，可证明在区域
连续。
如果在式（3.5）的右端积分中作替换
，我们有
即（3.6）
这说明贝塔函数关于
具有对称性。
贝塔函数还有如下递推公式
（3.7）
事实上，由分部积分
移项解出
，便得到所要证明的式（3.7）。
如果在式（3.5）中作替换
，则得
（3.8）
反复运用公式（3.7），有
从而
可见
从上式可看到贝塔函数与伽马函数之间的联系，但上述等式仅限于
取非负的整数方能成立，限制公式的应用价值，我们当然希望把它能够推广到和的整个定义范围内，这正是下一节讨论的内容。
11.3.3贝塔函数与伽马函数之间的联系
定理3.1设
，则
（3.9）
证：在积分
中作代换
，则有
所以
（3.10）
其中
为正方形
。作半径分别为
和
，圆心在原点的
圆域
和
（图3.1），则由于式（3.10）中积分的被积函数为非负的，所以有
但在积分
中作极坐标替换，得
（利用式（3.8））
（这里
）
所以
同理，可求
从而根据式（3.11），有
代入式（3.10），得
即
式（3.9）得证。
例3.2证明
证：由于
作替换
，有
又当
时，
，当
时，
，所以
例3.3利用等式
证明
证：由贝塔函数与伽马函数的关系式（3.9）及例3.1，有
例3.4利用欧拉积分计算积分
解：令
，有
，
，
并且当时
；当
时
。从而
=
=
=
=
=
