一鼓作气哈。
还学了一点latex编写技巧，技能max。
注：
1）学习视频：【高翔】视觉SLAM十四讲。
第3讲
3.1 理论部分
这一部分要点如下。3-5均为欧式变换所涉及的方式，此外，非欧式变换会改变刚体外形，如6中的几种变换。
1）线性代数基础
- 向量内积：
a
⋅
b
=
a
T
b
=
∑
i
=
1
3
a
i
b
i
=
∣
a
∣
∣
b
∣
c
o
s
<
a
,
b
>
\pmb{a}·\pmb{b}=\pmb{a}^T\pmb{b}=\sum_{i=1}^3a_ib_i=|\pmb{a}||\pmb{b}|cos<\pmb{a},\pmb{b}>
aaa⋅bbb=aaaTbbb=∑i=13aibi=∣aaa∣∣bbb∣cos<aaa,bbb>；
- 向量外积：
a
×
b
=
a
^
b
\pmb{a}×\pmb{b}=\pmb{a}\hat{}\ \pmb{b}
aaa×bbb=aaa^ bbb，其中
a
^
\pmb{a}\hat{}
aaa^指反对称矩阵，有的书中也表示为
a
×
\pmb{a}^×
aaa×。
2）刚体运动&坐标系间欧式变换
- 刚体运动：一个旋转加一个平移，用于表示世界系和相机系（或机器人系）之间的关系，用欧式变换来描述；
- 欧式变换：由旋转和平移组成。旋转部分为一个旋转矩阵
R
\pmb{R}
RRR（也叫方向余弦矩阵，3×3维），具有行列式为1和正交的性质，
n
n
n维旋转矩阵的集合定义为
S
O
(
n
)
SO(n)
SO(n)，由
n
n
n维空间的旋转矩阵组成，
S
O
(
n
)
SO(n)
SO(n)指
n
n
n维空间的特殊正交群；平移部分为一个平移向量
t
\pmb{t}
ttt（3×1维）。
3）变换矩阵
- 为便于多次欧式变换的描述，引入齐次坐标将旋转矩阵和平移向量放在一个矩阵中，形成变换矩阵
T
\pmb{T}
TTT（4×4维）；
- 变换矩阵可用于描述位姿，
n
n
n维变换矩阵的集合定义为
S
E
(
n
)
SE(n)
SE(n)，指特殊欧式群，这里虽然变换矩阵为4×4维，但
S
E
(
n
)
SE(n)
SE(n)仍表示为
S
E
(
3
)
SE(3)
SE(3)，应该是由于其描述的仍是3维空间的变换。
4）旋转向量和欧拉角
- 为解决表达冗余问题，将旋转矩阵
R
\pmb{R}
RRR用一个旋转轴和一个旋转角来刻画，即变换为一个旋转向量（角轴或轴角），转换过程采用罗德里格斯公式；将变换矩阵
T
\pmb{T}
TTT表达为一个旋转向量和一个平移向量；
- 欧拉角可用于直观表示，但存在奇异性问题（万向锁），使系统丢失一个自由度（由于俯仰角为±90°，x与z轴同轴）。
5）四元数
- 四元数是一种不带奇异性也不过分冗余的描述方式，可用于描述三维旋转，其与旋转向量之间可进行相互转换；
- 使用时，将空间三维点表示为一个纯虚四元数
p
\pmb{p}
ppp，对其做单位四元数
q
\pmb{q}
qqq指定的旋转，则通过
p
′
=
q
p
q
−
1
\pmb{p}^\prime=\pmb{q}\pmb{p}\pmb{q}^{-1}
ppp′=qqqpppqqq−1可得到旋转后的点
p
′
\pmb{p}^\prime
ppp′。
6）非欧式变换
- 相似变换：允许物体均匀缩放，自由度为7，该缩放因子
s
s
s在变换矩阵
T
\pmb{T}
TTT中乘在旋转矩阵
R
\pmb{R}
RRR前，三维相似变换集合称为相似变换群，
S
i
m
(
3
)
Sim(3)
Sim(3)；
- 仿射变换：仅保持各面平行，自由度为12，旋转矩阵
R
\pmb{R}
RRR为可逆矩阵
A
\pmb{A}
AAA即可，不必正交；
- 射影变换：仅保证接触平面的相交和相切，自由度为15。
3.2 实践部分
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