原理
在优化中，经常会遇见有异常值的情况．如在直线拟合中，可能会出现若干个不在直线上点，此时如果每一个点的权重一样，就会导致求得的直线方程不理想．
为了增强优化过程中对异常值的鲁棒性，一种比较可行的办法是使用鲁邦和函数，常见的鲁邦和函数有：柯西核函数，huber核函数．以下以柯西核函数为例说明；
在标准的最小二乘中，
r
i
r_i
ri是残差项，一般最小化如下目标函数：
m
i
n
1
/
2
Σ
i
r
i
2
min 1/2\Sigma_i r_i^2
min1/2Σiri2
以应用柯西核函数如下：
m
i
n
Σ
c
2
2
l
o
g
(
1
+
(
r
i
c
)
2
)
min \Sigma \frac{c^2}{2}log(1+(\frac{r_i}{c})^2)
minΣ2c2log(1+(cri)2)
与普通的最小二乘目标函数相比，采用柯西核函数之后，使得当r_i过大时，其对应的目标函数不至于过大，从而起到抑制异常值的作用．
实例
举一个简单的例子．拟合一条y=x的直线，现在出现一个(0,10)的outlier, 根据标准最小二乘，其目标函数为：
f
l
e
a
s
t
s
q
u
a
r
e
=
50
f_{leastsquare} = 50
fleastsquare=50
假设c=1, 柯西核函数目标函数值：
f
c
a
u
c
h
y
=
1
/
2
l
o
g
(
101
)
=
2.3
f_{cauchy} = 1/2log(101) = 2.3
fcauchy=1/2log(101)=2.3
可以看出使用柯西核函数之后，该点对整个系统的影响明显减小了．当然使用柯西核函数也有其缺点：
- 可能会导致有无数个无法观测的解．＂With a descending first derivative, such a function has a
tendency to yield erroneous solutions in a way which can not be observed＂
在Ceres中，只需要在增加残差项时指定柯西核函数：
optimize_problem.AddResidualBlock(cost_function, new ceres::CauchyLoss(0.5), pose_params.data());
同时还需要制定柯西函数的ｃ值，可以通过对目标函数求导，看出ｃ值对目标函数值的影响：
∂
O
∂
r
=
c
2
2
1
1
+
(
r
/
c
)
2
=
r
1
+
(
r
/
c
)
2
\frac{\partial O}{\partial r} = \frac{c^2}{2} \frac{1}{1+(r/c)^2} = \frac{r}{1+(r/c)^2}
∂r∂O=2c21+(r/c)21=1+(r/c)2r
可以看出当c增大，目标函数的一阶导数越小，即异常值对目标函数影响越小．
参考
- Parameter Estimation Techniques: A Tutorial with Application to Conic Fitting, Zhengyou Zhang
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