麦克纳姆轮运动学分析

2023-05-16

麦克纳姆轮运动学分析

是最常见的安装方式

麦轮底盘的正逆运动学模型

以O-长方形的安装方式为例，四个轮子的着地点形成一个矩形。正运动学模型（forward kinematic model）将得到一系列公式，让我们可以通过四个轮子的速度，计算出底盘的运动状态；而逆运动学模型（inverse kinematic model）得到的公式则是可以根据底盘的运动状态解算出四个轮子的速度。需要注意的是，底盘的运动可以用三个独立变量来描述：X轴平动、Y轴平动、yaw 轴自转；而四个麦轮的速度也是由四个独立的电机提供的。所以四个麦轮的合理速度是存在某种约束关系的，逆运动学可以得到唯一解，而正运动学中不符合这个约束关系的方程将无解。

先试图构建逆运动学模型，由于麦轮底盘的数学模型比较复杂，我们在此分四步进行：

①将底盘的运动分解为三个独立变量来描述；

②根据第一步的结果，计算出每个轮子轴心位置的速度；

③根据第二步的结果，计算出每个轮子与地面接触的辊子的速度；

④根据第三部的结果，计算出轮子的真实转速。

一、底盘运动的分解

我们知道，刚体在平面内的运动可以分解为三个独立分量：X轴平动、Y轴平动、yaw 轴自转。如下图所示，底盘的运动也可以分解为三个量：

$v_{t_x}$ 表示 X 轴运动的速度，即左右方向，定义向右为正；

$v_{t_y}$ 表示 Y 轴运动的速度，即前后方向，定义向前为正；

$\vec{\omega}$ 表示 yaw 轴自转的角速度，定义逆时针为正。

以上三个量一般都视为四个轮子的几何中心（矩形的对角线交点）的速度。

二、计算出轮子轴心位置的速度

定义：

$\vec{r}$ 为从几何中心指向轮子轴心的矢量；

$\vec{v}$ 为轮子轴心的运动速度矢量；

$\vec{v_r}$ 为轮子轴心沿垂直于 $\vec{r}$ 的方向（即切线方向）的速度分量；

那么可以计算出：

$\vec{v}=\vec{v_t}+\vec{\omega} \times \vec{r}$

分别计算 X、Y 轴的分量为：

$\begin{equation} \begin{cases} v_x=v_{t_x}-\omega \cdot r_y \\ v_y=v_{t_y}+\omega \cdot r_x \\ \end{cases} \end{equation}$

同理可以算出其他三个轮子轴心的速度。

三、计算辊子的速度

根据轮子轴心的速度，可以分解出沿辊子方向的速度 $\vec{v_\|}$ 和垂直于辊子方向的速度 $\vec{v_\perp}$ 。其中 $\vec{v_\perp}$ 是可以无视的（因为垂直方向速度对轮子转速没有贡献），而

$\vec{v_\|}=\vec{v} \cdot \hat{u}=(v_x\hat{i}+v_y\hat{j})\cdot(-\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i}+\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j})=-\frac{1}{\sqrt{2}}v_x+\frac{1}{\sqrt{2}}v_y$

其中 $\hat{u}$ 是沿辊子方向的单位矢量。

四、计算轮子的速度

从辊子速度到轮子转速的计算比较简单：

$v_w=\frac{v_\|}{cos 45^\circ}=\sqrt{2}(-\frac{1}{\sqrt{2}}v_x+\frac{1}{\sqrt{2}}v_y)=-v_x+v_y$

根据上图所示的 $a$ 和 $b$ 的定义，有

$\begin{equation} \begin{cases} v_x=v_{t_x}+\omega b \\ v_y=v_{t_y}-\omega a \\ \end{cases} \end{equation}$

结合以上四个步骤，可以根据底盘运动状态解算出四个轮子的转速：

$\begin{equation} \begin{cases} v_{w_1}=v_{t_y}-v_{t_x}+\omega(a+b) \\ v_{w_2}=v_{t_y}+v_{t_x}-\omega(a+b) \\ v_{w_3}=v_{t_y}-v_{t_x}-\omega(a+b) \\ v_{w_4}=v_{t_y}+v_{t_x}+\omega(a+b) \\ \end{cases} \end{equation}$

以上方程组就是O-长方形麦轮底盘的逆运动学模型，而正运动学模型可以直接根据逆运动学模型中的三个方程解出来，此处不再赘述。

另一种计算方式

「传统」的推导过程虽然严谨，但还是比较繁琐的。这里介绍一种简单的逆运动学计算方式。

我们知道，全向移动底盘是一个纯线性系统，而刚体运动又可以线性分解为三个分量。那么只需要计算出麦轮底盘在「沿X轴平移」、「沿Y轴平移」、「绕几何中心自转」时，四个轮子的速度，就可以通过简单的加法，计算出这三种简单运动所合成的「平动+旋转」运动时所需要的四个轮子的转速。而这三种简单运动时，四个轮子的速度可以通过简单的测试，或是推动底盘观察现象得出。

当底盘沿着 X 轴平移时：

$\begin{equation} \begin{cases} v_{w_1}=-v_{t_x} \\ v_{w_2}=+v_{t_x} \\ v_{w_3}=-v_{t_x} \\ v_{w_4}=+v_{t_x} \\ \end{cases} \end{equation}$

当底盘沿着 Y 轴平移时：

$\begin{equation} \begin{cases} v_{w_1}=v_{t_y} \\ v_{w_2}=v_{t_y} \\ v_{w_3}=v_{t_y} \\ v_{w_4}=v_{t_y} \\ \end{cases} \end{equation}$

当底盘绕几何中心自转时：

$\begin{equation} \begin{cases} v_{w_1}=+\omega(a+b) \\ v_{w_2}=-\omega(a+b) \\ v_{w_3}=-\omega(a+b) \\ v_{w_4}=+\omega(a+b) \\ \end{cases} \end{equation}$

将以上三个方程组相加，得到的恰好是根据「传统」方法计算出的结果。这种计算方式不仅适用于O-长方形的麦轮底盘，也适用于任何一种全向移动的机器人底盘。

参考 https://zhuanlan.zhihu.com/p/20282234?utm_source=qq&utm_medium=social

转载于:https://www.cnblogs.com/FangLai-you/p/10867791.html

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