ceres 拟合曲线

假设有一条满足以下方程的曲线：

其中a,b,c为曲线的参数，w为高斯噪声。这是一个非线性模型。假设我们有N个关于x,y的观测数据点，想根据这些数据点求出曲线的参数。那么，可以求解下面的最小二乘问题以估计曲线参数：
                                                    

请注意，在这个问题中，待估计的变量是a,b,c，而不是x。

CMakeList.txt

cmake_minimum_required( VERSION 2.8 )
project( ceres_curve_fitting )

set( CMAKE_BUILD_TYPE "Release" )
set( CMAKE_CXX_FLAGS "-std=c++11 -O3" )

# 添加cmake模块以使用ceres库
list( APPEND CMAKE_MODULE_PATH ${PROJECT_SOURCE_DIR}/cmake_modules )

# 寻找Ceres库并添加它的头文件
find_package( Ceres REQUIRED )
include_directories( ${CERES_INCLUDE_DIRS} )

# OpenCV
find_package( OpenCV REQUIRED )
include_directories( ${OpenCV_DIRS} )

add_executable( curve_fitting main.cpp )
# 与Ceres和OpenCV链接
target_link_libraries( curve_fitting ${CERES_LIBRARIES} ${OpenCV_LIBS} )

代码

#include <iostream>
#include <opencv2/core/core.hpp>
#include <ceres/ceres.h>
#include <chrono>

using namespace std;

// 代价函数的计算模型
struct CURVE_FITTING_COST
{
    CURVE_FITTING_COST ( double x, double y ) : _x ( x ), _y ( y ) {}
    // 残差的计算
    template <typename T>
    bool operator() (
        const T* const abc,     // 模型参数，有3维
        T* residual ) const     // 残差
    {
        residual[0] = T ( _y ) - ceres::exp ( abc[0]*T ( _x ) *T ( _x ) + abc[1]*T ( _x ) + abc[2] ); // y-exp(ax^2+bx+c)
        return true;
    }
    const double _x, _y;    // x,y数据
};

int main ( int argc, char** argv )
{
    double a=1.0, b=2.0, c=1.0;         // 真实参数值
    int N=100;                          // 数据点
    double w_sigma=1.0;                 // 噪声Sigma值
    cv::RNG rng;                        // OpenCV随机数产生器
    double abc[3] = {0,0,0};            // abc参数的估计值

    vector<double> x_data, y_data;      // 数据

    cout<<"generating data: "<<endl;
    for ( int i=0; i<N; i++ )
    {
        double x = i/100.0;
        x_data.push_back ( x );
        y_data.push_back (
            exp ( a*x*x + b*x + c ) + rng.gaussian ( w_sigma )
        );
        cout<<x_data[i]<<" "<<y_data[i]<<endl;
    }

    // 构建最小二乘问题
    ceres::Problem problem;
    for ( int i=0; i<N; i++ )
    {
        ceres::CostFunction* costfunction =
		    new ceres::AutoDiffCostFunction<CURVE_FITTING_COST, 1, 3>(
		      new CURVE_FITTING_COST(x_data[i], y_data[i]));
        ceres::LossFunction * loss_function = new ceres::CauchyLoss(0.1);
        problem.AddResidualBlock (     // 向问题中添加误差项
        // 使用自动求导，模板参数：误差类型，输出维度，输入维度，维数要与前面struct中一致
            costfunction,
            loss_function,            // 核函数
            abc                 // 待估计参数
        );
    }

    // 配置求解器
    ceres::Solver::Options options;     // 这里有很多配置项可以填
    options.linear_solver_type = ceres::DENSE_QR;  // 增量方程如何求解
    options.minimizer_progress_to_stdout = true;   // 输出到cout

    ceres::Solver::Summary summary;                // 优化信息
    chrono::steady_clock::time_point t1 = chrono::steady_clock::now();
    ceres::Solve ( options, &problem, &summary );  // 开始优化
    chrono::steady_clock::time_point t2 = chrono::steady_clock::now();
    chrono::duration<double> time_used = chrono::duration_cast<chrono::duration<double>>( t2-t1 );
    cout<<"solve time cost = "<<time_used.count()<<" seconds. "<<endl;

    // 输出结果
    cout<<summary.BriefReport() <<endl;
    cout<<"estimated a,b,c = ";
    for ( auto a:abc ) cout<<a<<" ";
    cout<<endl;

    return 0;
}

先来看仿函数的通俗定义：仿函数（functor）又称为函数对象（function object）是一个能行使函数功能的类。仿函数的语法几乎和我们普通的函数调用一样，不过作为仿函数的类，都必须重载operator()运算符，举个例子：

 class Func{
     public:
         void operator() (const string& str) const {
             cout<<str<<endl;
         }
 };

 Func myFunc;
 myFunc("helloworld!");
>>>helloworld!

class StringAppend{
    public:
        explicit StringAppend(const string& str) : ss(str){}

        void operator() (const string& str) const{
             cout<<str<<' '<<ss<<endl;
        }
    
    private:
        const string ss;  
};

StringAppend myFunc("is world");
myFunc("hello");
>>>hellois world