【解】 追求的目标一定是两个:首先是考虑保命,然后再考虑射击谁。 (1)若按顺序进行且C首先开枪射击,他应该怎样做? 设
π
A
(
A
B
C
)
\pi_A(ABC)
πA(ABC)表示三人都活着,且按ABC顺序射击时A存活的概率,其余表示含义类似。 ①如果C射击其他人,一定是射击A。(因为首先要考虑保命,所以一定会优先射击那个命中率高的人) 如果C击中A,那么他的支付为
π
C
(
B
C
)
\pi_C(BC)
πC(BC)。 因为在BC这个顺序下C存活的概率取决于B的命中率,如果B把C打中了,那么C存活概率就是0,打所以这种情况下C的存活概率是
4
5
∗
0
=
0
\frac{4}{5}*0=0
54∗0=0,如果没有打中的话(概率是
1
5
\frac{1}{5}
51),就该C打B了。 所以有式子:
π
C
(
B
C
)
=
π
C
(
C
B
)
/
5
\pi_C(BC)=\pi_C(CB)/5
πC(BC)=πC(CB)/5 而
π
C
(
C
B
)
=
1
2
×
1
+
1
2
×
π
C
(
B
C
)
=
1
2
×
1
+
1
2
×
1
5
π
C
(
C
B
)
\pi_C(C B)=\frac{1}{2} \times 1+\frac{1}{2} \times \pi_C(B C)=\frac{1}{2} \times 1+\frac{1}{2} \times \frac{1}{5} \pi_C(C B)
πC(CB)=21×1+21×πC(BC)=21×1+21×51πC(CB) 于是可得:
π
C
(
C
B
)
=
5
9
,
π
C
(
B
C
)
=
1
9
(
C
击中
A
,
C
存活的概率
)
\pi_C(C B)=\frac{5}{9}, \pi_C(B C)=\frac{1}{9} (C击中A,C存活的概率)
πC(CB)=95,πC(BC)=91(C击中A,C存活的概率) 没有击中A的情况如②: ②如果C射向空中。显然A将射向B而不是C,并且B将会射向A而不是C。(因为首先要考虑保命,所以一定会优先射击那个命中率高的人)。因而A和B将会互相射击,直到其中一个人出局,接着该轮到C射击了。
若A是A、B互相射击的幸存者,则此时C幸存的概率为
π
C
(
C
A
)
=
1
2
\pi_C(CA)=\frac{1}{2}
πC(CA)=21。 若B是A、B互相射击的幸存者,则此时C幸存的概率是
π
C
(
C
B
)
=
5
9
\pi_C(CB)=\frac{5}{9}
πC(CB)=95。 因为
π
C
(
C
B
)
=
5
9
\pi_C(CB)=\frac{5}{9}
πC(CB)=95,
π
C
(
C
A
)
=
1
2
\pi_C(CA)=\frac{1}{2}
πC(CA)=21,均大于
π
C
(
B
C
)
=
1
9
\pi_C(BC)=\frac{1}{9}
πC(BC)=91。所以C射向空中是其最优选择。 (2)如果按顺序进行射击,证明C存活的可能性最大。 证明:①假设A在B之前射击,顺序可能为CAB或ACB或ABC三种可能。 因为C射向空中,A一定确保能干掉B,所以
π
C
(
C
A
B
)
=
π
C
(
A
C
B
)
=
π
C
(
A
B
C
)
=
1
2
\pi_C(C A B)=\pi_C(A C B)=\pi_C(A B C)=\frac{1}{2}
πC(CAB)=πC(ACB)=πC(ABC)=21 于是可得:
π
A
(
C
A
B
)
=
π
A
(
A
C
B
)
=
π
A
(
A
B
C
)
=
1
2
\pi_A(C A B)=\pi_A(A C B)=\pi_A(A B C)=\frac{1}{2}
πA(CAB)=πA(ACB)=πA(ABC)=21 ②假设B在A之前射击,顺序为CBA或BCA或BAC三种可能。那么B就会射向A,击中的概率为4/5,因而
π
C
(
C
B
A
)
=
π
C
(
B
C
A
)
=
π
C
(
B
A
C
)
=
4
5
π
C
(
C
B
)
+
1
5
π
C
(
C
A
)
=
4
5
×
5
9
+
1
5
×
1
2
=
49
90
\begin{aligned} \pi_C(C B A) & =\pi_C(B C A)=\pi_C(B A C) \\ & =\frac{4}{5} \pi_C(C B)+\frac{1}{5} \pi_C(C A) \\ & =\frac{4}{5} \times \frac{5}{9}+\frac{1}{5} \times \frac{1}{2}=\frac{49}{90} \end{aligned}
πC(CBA)=πC(BCA)=πC(BAC)=54πC(CB)+51πC(CA)=54×95+51×21=9049 此外
π
A
(
C
B
A
)
=
π
A
(
B
C
A
)
=
π
A
(
B
A
C
)
=
4
5
×
0
+
1
5
×
1
2
=
1
10
π
B
(
C
B
A
)
=
4
5
×
4
9
+
1
5
×
0
=
16
45
\begin{aligned} \pi_A(C B A)=\pi_A(B C A)=\pi_A(B A C)\\ =\frac{4}{5} \times 0+\frac{1}{5} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{10} \\ \pi_B(C B A) & =\frac{4}{5} \times \frac{4}{9}+\frac{1}{5} \times 0=\frac{16}{45} \end{aligned}
πA(CBA)=πA(BCA)=πA(BAC)=54×0+51×21=101πB(CBA)=54×94+51×0=4516
(3)若每一轮开枪的人是任意选择的,证明存活率与命中率完全相反。 【证明】设
π
A
[
A
]
\pi_A[A]
πA[A]表示A开第一枪时A幸存概率,
π
A
\pi_A
πA表示A总体幸存概率,
π
A
{
A
B
}
\pi_A\left\{AB\right\}
πA{AB}表示AB两人谁开第一枪是任意的。其余类似表示。 如果下一轮进行射击的选手任意选择,结果依然是A和B将会互相射击直到两人中只有一人幸存。无论如何,显然C更愿意与B一对一较量而不是与A,所以C有机会射击的话将会射向A。 现在分析两个人的情形:
π
A
{
A
B
}
=
1
2
×
1
+
1
2
×
1
5
π
A
{
A
B
}
π
A
{
A
B
}
=
5
9
,
π
B
{
A
B
}
=
4
9
\begin{aligned} & \pi_A\{A B\}=\frac{1}{2} \times 1+\frac{1}{2} \times \frac{1}{5} \pi_A\{A B\} \\ & \pi_A\{A B\}=\frac{5}{9}, \quad \pi_B\{A B\}=\frac{4}{9} \end{aligned}
πA{AB}=21×1+21×51πA{AB}πA{AB}=95,πB{AB}=94 以此类推:
π
A
{
A
C
}
=
1
2
×
1
+
1
2
×
(
1
2
×
π
A
{
A
C
}
)
\pi_A\{A C\}=\frac{1}{2} \times 1+\frac{1}{2} \times\left(\frac{1}{2} \times \pi_A\{A C\}\right)
πA{AC}=21×1+21×(21×πA{AC}) 于是有
π
A
{
A
C
}
=
2
3
,
π
C
{
A
C
}
=
1
3
\pi_A\{A C\}=\frac{2}{3}, \pi_C\{A C\}=\frac{1}{3}
πA{AC}=32,πC{AC}=31 进而有:
π
B
{
B
C
}
=
1
2
×
[
4
5
×
1
+
1
5
π
B
{
B
C
}
]
+
1
2
×
1
2
π
B
{
B
C
}
\pi_B\{B C\}=\frac{1}{2} \times\left[\frac{4}{5} \times 1+\frac{1}{5} \pi_B\{B C\}\right]+\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \pi_B\{B C\}
πB{BC}=21×[54×1+51πB{BC}]+21×21πB{BC}
π
B
{
B
C
}
=
8
13
π
C
{
B
C
}
=
5
13
\begin{aligned} & \pi_B\{B C\}=\frac{8}{13} \\ & \pi_C\{B C\}=\frac{5}{13} \end{aligned}
πB{BC}=138πC{BC}=135 现在,显然:
π
A
[
A
]
=
π
A
{
A
C
}
=
2
3
,
π
B
[
A
]
=
0
,
π
C
[
A
]
=
1
3
\pi_A[A]=\pi_A\{A C\}=\frac{2}{3}, \pi_B[A]=0, \pi_C[A]=\frac{1}{3}
πA[A]=πA{AC}=32,πB[A]=0,πC[A]=31 同样, 容易得到
π
B
[
B
]
=
4
5
π
B
{
B
C
}
+
1
5
π
B
,
π
A
[
B
]
=
1
5
π
A
π
C
[
B
]
=
4
5
π
C
{
B
C
}
+
1
5
π
C
和
π
C
[
C
]
=
1
2
π
C
{
B
C
}
+
1
2
π
C
,
π
A
[
C
]
=
1
2
π
A
π
B
[
C
]
=
1
2
π
B
{
B
C
}
+
1
2
π
B
\begin{aligned} & \pi_B[B]=\frac{4}{5} \pi_B\{B C\}+\frac{1}{5} \pi_B, \pi_A[B]=\frac{1}{5} \pi_A \\ & \pi_C[B]=\frac{4}{5} \pi_C\{B C\}+\frac{1}{5} \pi_C \\ & \text { 和 } \pi_C[C]=\frac{1}{2} \pi_C\{B C\}+\frac{1}{2} \pi_C, \pi_A[C]=\frac{1}{2} \pi_A \\ & \pi_B[C]=\frac{1}{2} \pi_B\{B C\}+\frac{1}{2} \pi_B \end{aligned}
πB[B]=54πB{BC}+51πB,πA[B]=51πAπC[B]=54πC{BC}+51πC和πC[C]=21πC{BC}+21πC,πA[C]=21πAπB[C]=21πB{BC}+21πB 合并到一起计算,于是得到:
π
A
=
1
3
[
2
3
+
1
5
π
A
+
1
2
π
A
]
→
π
A
=
20
69
π
B
=
1
3
[
0
+
4
5
π
B
{
B
C
}
+
1
5
π
B
+
1
2
π
B
{
B
C
}
+
1
2
π
B
]
→
π
B
=
24
69
π
C
=
1
3
[
1
3
+
4
5
π
C
{
B
C
}
+
1
5
π
C
+
1
2
π
C
{
B
C
}
+
1
2
π
C
]
→
π
C
=
25
69
\begin{aligned} & \pi_A=\frac{1}{3}\left[\frac{2}{3}+\frac{1}{5} \pi_A+\frac{1}{2} \pi_A\right] \rightarrow \pi_A=\frac{20}{69} \\ & \pi_B=\frac{1}{3}\left[0+\frac{4}{5} \pi_B\{B C\}+\frac{1}{5} \pi_B+\frac{1}{2} \pi_B\{B C\}+\frac{1}{2} \pi_B\right] \rightarrow \pi_B=\frac{24}{69} \\ & \pi_C=\frac{1}{3}\left[\frac{1}{3}+\frac{4}{5} \pi_C\{B C\}+\frac{1}{5} \pi_C+\frac{1}{2} \pi_C\{B C\}+\frac{1}{2} \pi_C\right] \rightarrow \pi_C=\frac{25}{69} \end{aligned}
πA=31[32+51πA+21πA]→πA=6920πB=31[0+54πB{BC}+51πB+21πB{BC}+21πB]→πB=6924πC=31[31+54πC{BC}+51πC+21πC{BC}+21πC]→πC=6925 于是有
π
C
>
π
B
>
π
A
\pi_C>\pi_B>\pi_A
πC>πB>πA 得证。 (视频是2.23第一节)
【解】博弈三要素: 参与人集合:
N
=
{
1
,
2
}
N=\left\{1,2\right\}
N={1,2} 战略集合:
S
t
=
{
0
,
1
,
2...
,
100
}
,
t
=
1
,
2
S_t=\left\{0,1,2...,100\right\},t=1,2
St={0,1,2...,100},t=1,2 参与人
i
i
i的支付:
u
i
=
{
s
i
当
s
i
+
s
j
≤
100
(
i
,
j
=
1
或
2
)
s
i
当
s
i
+
s
j
>
100
,
且
s
i
<
s
j
100
−
s
j
当
s
i
+
s
j
>
100
,
且
s
i
>
s
j
50
当
s
i
+
s
j
>
100
,
且
s
i
=
s
j
u_i= \begin{cases}s_i & \text { 当 } s_i+s_j \leq 100(i, j=1 \text { 或 } 2) \\ s_i & \text { 当 } s_i+s_j>100, \text { 且 } s_i<s_j \\ 100-s_j & \text { 当 } s_i+s_j>100, \text { 且 } s_i>s_j \\ 50 & \text { 当 } s_i+s_j>100, \text { 且 } s_i=s_j\end{cases}
ui=⎩⎨⎧sisi100−sj50当si+sj≤100(i,j=1或2)当si+sj>100,且si<sj当si+sj>100,且si>sj当si+sj>100,且si=sj