最短路径算法之AStar算法(四) 可变H函数

前面的文章已经讨论过，当H函数可变时，前面给出的AStar算法伪过程存在问题，并且通过实际的例子证明了问题的存在。现在，让我们具体分析一下问题究竟出现在什么地方。

我们回顾一下AStar算法的证明过程，其中一个关键的过程在于结论2的得出。结论2的得出依靠引理3。如果H函数可变，那么引理3是不成立的。对于某个节点node而言，F(node)=G(node)+H(node)。如果H值不变，则当G值最小时F值最小。如果H函数可变，则当函数G函数最小时，对于当前的H值来说是最小的F值。可是如果后面H值变了，则对于某个稍大的G值而言，所得的F值可能会小于之前那个F值。
我们来看看注意点7的过程和图2。

                      图2

开始的H值为：H(A)=-100，H(C)=40，H(end)=0。先扩展start节点然后是A节点。此时从start节点到A节点的路径值G(A)=100，F(A)=0，此时A的F值并不是最小值。如果H函数值不变，则扩展C节点时会再次计算A节点的F值，因为G(A)=30，则F(A)=-70，此时根据引理3，该G(A)为最小值，对应的F值是最小值。可是H函数值可变，当G(A)达到最小值时，H(A)变成了20远大于之前的H值-100，使得尽管G值达到最小，但是对应的F值并没有达到最小，根据AStar算法，不会进行更新，使得从start到A的路径没有更新成从start到C到A。

我们现在对算法作出修改，在原始的算法中，注意注释中的程序注意点1和程序注意点2，比较都是基于F值进行比较，现在我们对这两处作出修改，比较基于G值进行。

作出了修改以后，引理3就不存在了。因为比较基于G值进行比较，G(S_¹)= P_^stp (start-S_¹)是最小值，设定此时的F值为F_¹，根据修改过的AStar算法，此时节点S_¹的F值不会改变。并且因为H(S_¹)<=β(S_¹)，F1<= P_^stp (start-S_¹)<=N<M。至此，结论1仍然成立。
现在我们假设节点S_^m以最小的G值进行了扩展，1<=m<=k，G(S_^m)= Pstp(start-S_^m)，此时对应的F值是F_^m。下面看看节点S_^m+1。如果m=k，那么S_^m+1就是end节点。
扩展S_^m节点时，因为S_^m+1节点是其后继节点，则计算S_^m+1节点的F值为F(S_^m+1)=G(S_^m+1)+H(S_^m+1)=G(S_^m)+w(S_^m，S_^m+1)+ H(S_^m+1)。因为G(S_^m)= Pstp(start-S_^m)。因为S_^m节点以及S_^m+1节点都是最短路径stp上的节点，很显然，Pstp(start-S_^m)+w(S_^m，S_^m+1)= Pstp(start-S_^m+1)。因此，F(S_^m+1)= P_^stp(start-S_^m+1)+ H(S_^m+1)<=N<M。令此时的F值为F_^m+1。至此结论2仍然成立。
结论1和结论2仍然成立。和上面的证明相同的过程，可以得出算法的正确性。
现在将修改过的算法伪过程列出来：

struct Node{
    int g;   //该节点的g值
    int h;   //该节点的h值
    int f;   //该节点的f值
    Node* pre;  //该节点的前驱节点
};

AStar_Search(){
    struct  Node  start_node;
    start_node.g = 0;
    start_node.h = H(start);
    start_node.f = start_node.h;
    start_node.pre = NULL;

    OPEN链表 = [start_node]; CLOSE链表 = [];

    while ( OPEN链表非空 ) {

        如果H函数发生了变化，更新OPEN链表中的Node结构的h和f属性；

        从OPEN链表中取得F值最小的Node,称之为x_node，对应的节点称之为为x；
        从OPEN链表中删除x_node；

        if (x是end节点){
            根据每个节点对应的node结构的pre指针，返回路径；
        }

        for (x的每一个后继节点y){
            struct  Node  y_node;
            y_node.g = x_node.g+w(x,y);
            y_node.h = H(y);
            y_node.f = y_node.g+y_node.h;
            y.pre = x_node;

            if( y不在OPEN表 and 不在CLOSE表中){
                把y_node放到OPEN表中；
            }else  if( y在OPEN表中){
                取出OPEN表中的y节点对应的Node结构，称之为y_open；

                if( y_node.g小于y_open.g) {               //程序注意点1
                    y_open.g=y_node.g;
                    y_open.h=y_node.h;
                    y_open.f =y_node.f;
                    y_open.pre = y_node.pre;
                }
            }else{              //y在CLOSE表中
                取出CLOSE表中的y节点对应的Node结构，称之为y_close；

                if(y_node.g小于y_close.g){              //程序注意点2
                    将y_close从CLOSE链表中删除
                    把y_node放到OPEN表中；
                }
            }
        }  //end  for

        将x_node放入到CLOSE表中；

    }    //end  while
}    // end  AStar_Search

H函数毕竟是一个估计函数，随着算法的进行，有可能对节点的H值进行更新以更准确的反映出节点到终点的最短路径值。因此，这里对算法的修改会具有某些实际意义。