自适应神经网络控制
基本思路
自适应控制率
u∗
u∗=−1b(x)[a(x)+v]−[1εb(x)+1εb2(x)−b(x)˙2b2(x)]es
———— (1)
之所以这么设计的原因,一方面是基于反馈控制的基本思想,设计误差动态系统,另一方面是为了保证系统的稳定性,也就是为了使得基于误差系统的Lyapunov稳定性可以保证
误差
es
动态方程
es˙=a(x)+b(x)u+v+d(t)
———— (2)
v=−y(n)d+[0 ΛT]e
利用神经网络
u∗1(Z)
拟合控制
u∗
u∗=u∗1(Z)−1εes
———— (3)
HONN自适应控制
神经网络控制器
u1(Z)
u1(Z)=W^⋅S(Z)
———— (4)
自适应律
W^˙=−Γ[S(Z)es+σW^]
———— (5)
拟合误差
u∗1(Z)=W∗⋅S(Z)+μl
———— (6)
W∗⋅S(Z)
表示最优网络
μl
表示拟合误差
推导误差
es
动态方程
1. 将控制(4)代入误差动态方程(2)
es˙=a(x)+b(x)W^⋅S(Z)+v+d(t)
-
添加辅助项
b(x)u∗
es˙=a(x)+b(x)[W^⋅S(Z)−u∗]+b(x)u∗+v+d(t)
———— (7)
-
将(6)代入
es˙=a(x)+v+b(x)[W^⋅S(Z)−W∗⋅S(Z)−μl]+b(x)u∗+d(t)
由于
W~⋅S(Z)=W^⋅S(Z)−W∗⋅S(Z)
,则
es˙=a(x)+v+b(x)[W~⋅S(Z)−μl]+b(x)u∗+d(t)
这里体现出线性神经网络的优点,便于化简
-
将(1)代入
由于
b(x)u∗=−[a(x)+v]−b(x)[1εb(x)+1εb2(x)−b(x)˙2b2(x)]es
,则
es˙=b(x)[W~⋅S(Z)−μl]−b(x)[1εb(x)+1εb2(x)−b(x)˙2b2(x)]es+d(t)
es˙=b(x)[b(x)˙2b2(x)es−1εb(x)es−1εb2(x)es+W~⋅S(Z)−μl]+d(t)
———— (8)
Lyapunov方程
Vs=12[e2sb(x)+W~TΓ−1W~]
稳定性证明
V˙s=es⋅e˙sb(x)−b(x)˙2b(x)e2s+W~TΓ−1W^˙
将(5)(8)代入,得
V˙=es[b(x)˙2b2(x)es−1εb(x)es−b(x)˙2b(x)e2s+W~⋅S(Z)−μl]+es⋅d(t)b(x)−e2sb(x)˙2b2(x)+
W~TΓ−1[−Γ[S(z)es+σW^]]
V˙=e2s(−1εb(x)−1εb2(x))−esμl+es⋅d(t)b(x)−W~TσW^
———— (9)
补充说明1
Lyapunov稳定性证明可以分为两种思路
第一直接设计的控制率使得
V˙<0
第二构造形如
V˙<V+β(x)
补充说明2
控制率和自适应律的设计也分为两部分
第一部分为了消除Lyapunov中的某些项
第二部分是为了满足稳定性条件,此部分有两种思路,第一种为了满足
V˙<0
,第二种是为了构造
V
,使得
V˙<V+β(x)
的条件满足
从化简的过程可以出来
(5)自适应律的设计分为两部分,第一部分
S(z)es
是为了抵消Lyapunov
V˙
的非线性项,第二部分
σW^
是为了构造
V
再对(9)继续化简之前,需要考虑以下不等式
2ab≤a2+b2
2aε(εb)≤(aε)2+(εb)2
Lyapunov方程中的项采用如下不等式进行化简
2W~TW^=∥∥W~∥∥2+∥∥W^∥∥2−∥W∗∥2≥∥∥W~∥∥2−∥W∗∥2
d(t)b(x)es=esb(x)⎛⎝⎜⎜1ε2√⎞⎠⎟⎟⋅(ε2−−√d(t))≤12⎡⎣⎢⎢esb(x)⎛⎝⎜⎜1ε2√⎞⎠⎟⎟⎤⎦⎥⎥2+12(ε2−−√d(t))2
=e2sεb2(x)+ε4d2(t)
|μles|≤e2s2εb(x)+ε2μ2lb(x)
|μl|≤μ0
|dt|≤d0
0<b(x)<b1
因此Lyapunov方程可以化简为
V˙≤−e2s2εb2(x)+ε2μ20b1+ε4d20−σ2∥∥W~∥∥2+σ2∥W∗∥2
对于该Lyapunov方程的处理我们采用构造
V˙<V+β(x)
的方式进行稳定性证明
再进一步处理之前,我们需要利用如下不等式对Lyapunov函数
Vs
进行变换
W~TΓ−1W~≤λmax∥∥W~∥∥2
−σ2∥∥W~∥∥2≤−σ2W~TΓ−1W~λmax
则
V˙
可以转化为
V˙≤−e2s2εb2(x)−σ2W~TΓ−1W~λmax+ε2μ20b1+ε4d20+σ2∥W∗∥2
假设
α0=max{ε,λmaxσ}
σ0=ε2μ20b1+ε4d20+σ2∥W∗∥2
则
V˙≤−1α0V+12σ0