一、 模糊理论基础
1. 引入什么是模糊：
一粒种子肯定不能构成一堆，两粒也不能……但是人们承认一亿粒种子肯定能构成一堆，那么这个界限在哪儿呢？是否可以说325647粒种子不是一堆而325648粒种子则构成一堆呢？ ——E. Borel
在上面这个问题当中，一堆得界定就是模糊的~
2. 介绍Zadeh
扎德（Zadeh，L.A.；1921年2月-2017年9月6日），美国自动控制专家，“模糊集之父”，美国工程科学院院士、俄罗斯自然科学院外籍院士、是1994年成立的国际欧亚科学院的5位创始院士之一。生于苏联巴库。 1949年获哥伦比亚大学电机工程博士。生前曾任加利福尼亚大学伯克利分校电机工程与计算机科学系教授。因发展模糊集理论的先驱性工作而获电气与电子工程师学会(IEEE)的教育勋章。
1965年，他发表了题为“模糊集”的开创性论文。模糊集和模糊逻辑的理念影响到了全世界的学人。据微软学术，他在模糊集方面的相关论著已被引用了将近3.38万次。
二、模糊
1. 模糊数学
模糊的英文为Fuzzy，它具有“不分明”，“边界不清”的意思。而数学是非常严格、非常精确的东西。模糊数学是用来描述、研究、处理事物所具有的模糊特征（即模糊概念）。“模糊”是指它的研究对象，“数学”是指它的研究方法。
2. 模糊概念
在自然语言中，常用的描述事物特征的一些概念是模糊的。如健康状况一栏中，填“好、比较好、良好等”，至于什么样的身体属于好，什么样的属于良，很难确切地规定。再如，将人按年龄分为“年轻人、中年人、老年人” （从宏观上把握事物的主要特征和便于处理，人为将其模糊化）。再如，在水箱液位、温度等控制中，有经验的操作工会根据被控制量的大小（高，过高、低），操作阀门等（开大、开小）。
3. 普通数学对模糊概念的描述
以年龄为例，传统的方法是规定一些域值来定义的。用y代表年龄，y<40为“年轻”，40<=y<60为“中年”，y>=60为“老年”。这种方法简单，但过于绝对化。实际上人是随着年龄的增长逐渐地由青年步入中年，再走向老年的，这些概念之间本来就没有明确的界限。传统数学的基础是集合论，这些集合的边界必须是明确的，一个对象要么属于，要么不属于，二者必居其一。传统数学不能描述和处理这种没有明确边界的模糊概念，模糊数学便应用而生。
4. 模糊技术的应用领域
地铁机车、机器人、过程控制、故障诊断、交通管理、医疗诊断、声音识别、图像处理、市场预测等领域。
三、模糊集合及其运算
1. 模糊集合（Fuzzy Sets）
给定论域U，U到[0,1]闭区间的任一映射μA
μA：U 属于[0,1]
u属于μA(u)
都确定U上的一个模糊子集A，简称模糊集。μA称为模糊集合A的隶属函数（Membership Function）。若论域中的元素用x表示，则μA(x)称为x属于A的隶属度（degree of membership）。
2.性质
隶属函数反映了论域中的元素属于该集合的程度。 μA(x)接近1，表示x属于A的程度高；μA(x)接近0，表示x属于A的程度低。
例如：用论域[1，100]上的模糊集A、B、C表示“年轻、中年、老年”，A、B、C的隶属函数μA(x)、μB(x)、μC(x)如图所示。
用模糊集合进行解释就是： 30岁的年轻程度为0.75。40岁的人已经不太年轻（0.25），比较接近中年，但属于中年的程度还不太大（0.5），50岁正值中年（1），即将走向“老年”。
3. 模糊集合的分类
（1）台集合
模糊集合A的台集As是一个普通集合，它由论域U中满足μA(u)>0的所有u组成。即
(2)单点模糊集
模糊集合A的台集仅有一个元素u0，且μA(u0)=1，则A就是单点模糊集，表示为：
（3）凸模糊集
若A为以实数R为论域的模糊子集，其隶属函数为μA(x)，如果对于在任意实数a<x<b，都有
凸模糊集实质上就是隶属函数具有单峰值特性。
四、模糊集合的表示法
1.离散论域
（1） Zadeh表示法
（2）序偶表示法
（3）向量表示法
2.连续论域
Zadeh表示法为 ：
五、模糊集合的基本运算
设论域U上的两个模糊子集A和B，它们之间的交、并、补运算定义如下。
1. F交集
2. F并集
3. F补集
六、常用隶属函数
1. 三角型隶属函数
Trimf（x，[a b c]）
2．梯型隶属函数
Trapmf（x，[a b c d]）
3．高斯型隶属函数
Gaussmf（x，[a c]） 
4．Sigmoid型隶属函数
Gaussmf（x，[a c]） 
5．一般的钟型隶属函数
Gbellmf（）
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