傅里叶变换的一些总结
1.三角函数的正交性
三角函数系：
{
1
(
c
o
s
(
0
x
)
)
,
s
i
n
(
x
)
,
c
o
s
(
x
)
,
s
i
n
(
2
x
)
,
c
o
s
(
2
x
)
,
s
i
n
(
3
x
)
,
c
o
s
(
3
x
)
,
.
.
.
,
s
i
n
(
n
x
)
,
c
o
s
(
n
x
)
}
\{ 1(cos(0x)), sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),sin(3x),cos(3x),...,sin(nx),cos(nx) \}
{1(cos(0x)),sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),sin(3x),cos(3x),...,sin(nx),cos(nx)}
从三角函数系中任选两个函数，他们的乘积在
[
−
π
,
π
]
[-\pi,\pi]
[−π,π]上的积分具有一定的正交性。（正交，理解：两个二维向量，内积为0，图像上表示为垂直关系，例子：向量
a
=
{
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
}
a = \{a_1,a_2,...,a_n\}
a={a1,a2,...,an}和向量
b
=
{
b
1
,
b
2
,
.
.
.
,
b
n
}
b = \{b_1,b_2,...,b_n\}
b={b1,b2,...,bn}的内积为0，即
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
.
.
.
+
a
n
b
n
=
0
a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n = 0
a1b1+a2b2+...+anbn=0）。
∫
−
π
π
s
i
n
(
n
x
)
c
o
s
(
m
x
)
=
0
∫
−
π
π
s
i
n
(
n
x
)
s
i
n
(
m
x
)
=
0
,
m
≠
n
∫
−
π
π
c
o
s
(
n
x
)
c
o
s
(
m
x
)
=
0
,
m
≠
n
\int_{-\pi}^{\pi} sin(nx)cos(mx) = 0 \\ \int_{-\pi}^{\pi} sin(nx)sin(mx) = 0,~~~~ m \ne n \\ \int_{-\pi}^{\pi} cos(nx)cos(mx) = 0,~~~~ m \ne n \\
∫−ππsin(nx)cos(mx)=0∫−ππsin(nx)sin(mx)=0, m=n∫−ππcos(nx)cos(mx)=0, m=n
证明，利用三角函数积化和差化简。
2.周期为
2
π
2\pi
2π的连续函数
f
(
t
)
=
f
(
t
+
2
π
)
f(t) = f(t + 2\pi)
f(t)=f(t+2π)，展开为傅里叶级数为：
f
(
t
)
=
a
0
+
a
1
c
o
s
(
t
)
+
b
1
s
i
n
(
t
)
+
a
2
c
o
s
(
2
t
)
+
b
2
s
i
n
(
2
t
)
+
.
.
.
+
a
∞
c
o
s
(
∞
t
)
+
b
∞
s
i
n
(
∞
t
)
=
a
0
/
2
+
∑
n
=
1
∞
a
n
c
o
s
(
n
t
)
+
∑
n
=
1
∞
b
n
s
i
n
(
n
t
)
(1)
f(t) = a_0 + a_1cos(t) +b_1sin(t)+a_2cos(2t) + b_2sin(2t) +...+a_\infty cos(\infty t)+b_\infty sin(\infty t) \\ = a_0/2 + \sum_{n=1}^\infty a_ncos(nt) + \sum_{n=1}^\infty b_nsin(nt) \tag {1}
f(t)=a0+a1cos(t)+b1sin(t)+a2cos(2t)+b2sin(2t)+...+a∞cos(∞t)+b∞sin(∞t)=a0/2+n=1∑∞ancos(nt)+n=1∑∞bnsin(nt)(1)
a
0
=
1
π
∫
−
π
π
f
(
t
)
d
t
a
n
=
1
π
∫
−
π
π
f
(
t
)
c
o
s
(
n
t
)
d
t
b
n
=
1
π
∫
−
π
π
f
(
t
)
s
i
n
(
n
t
)
d
t
(2)
a_0 = \frac 1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t)dt \\ a_n = \frac 1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t)cos(nt)dt \\ b_n = \frac 1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t)sin(nt)dt \tag{2}
a0=π1∫−ππf(t)dtan=π1∫−ππf(t)cos(nt)dtbn=π1∫−ππf(t)sin(nt)dt(2)
求解
a
0
a_0
a0，对等式
(
1
)
(1)
(1)两边求积分
∫
−
π
π
d
t
\int_{-\pi}^{\pi}dt
∫−ππdt，
∫
−
π
π
∑
n
=
1
∞
b
n
s
i
n
(
n
t
)
d
t
=
0
\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty b_nsin(nt)dt=0
∫−ππ∑n=1∞bnsin(nt)dt=0 ,
∫
−
π
π
∑
n
=
1
∞
a
n
c
o
s
(
n
t
)
d
t
=
0
\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^\infty a_ncos(nt)dt=0
∫−ππ∑n=1∞ancos(nt)dt=0
求解
a
n
a_n
an，对等式
(
1
)
(1)
(1)两边求积分
∫
−
π
π
c
o
s
(
k
x
)
d
t
\int_{-\pi}^{\pi}cos(kx)dt
∫−ππcos(kx)dt，化简。
求解
b
n
b_n
bn，对等式
(
1
)
(1)
(1)两边求积分
∫
−
π
π
s
i
n
(
k
x
)
d
t
\int_{-\pi}^{\pi}sin(kx)dt
∫−ππsin(kx)dt，化简。
3.周期为2l的连续函数
f
(
t
)
=
f
(
t
+
2
l
)
f(t) = f(t+2l)
f(t)=f(t+2l)，其傅里叶级数为：
f
(
t
)
=
a
0
/
2
+
∑
n
=
1
∞
a
n
c
o
s
(
n
ω
t
)
+
∑
n
=
1
∞
b
n
s
i
n
(
n
ω
t
)
(3)
f(t) =a_0/2 + \sum_{n=1}^\infty a_ncos(n\omega t) + \sum_{n=1}^\infty b_nsin(n\omega t) \tag {3}
f(t)=a0/2+n=1∑∞ancos(nωt)+n=1∑∞bnsin(nωt)(3)
利用周期为
2
π
2\pi
2π的傅里叶级数进行换元（换元法），令
x
=
π
t
/
l
,
t
=
l
x
/
π
x = \pi t/l,t = lx/\pi
x=πt/l,t=lx/π。
构造函数:
f
(
t
)
=
f
(
l
x
/
π
)
=
g
(
x
)
f(t) = f(lx/\pi) = g(x)
f(t)=f(lx/π)=g(x)，根据(1)和(2)，
g
(
x
)
g(x)
g(x)可以分解为傅里叶级数。将x替换为t，进行化简。其中，周期
T
=
2
l
,
ω
=
2
π
T
T=2l,\omega = \frac {2\pi}T
T=2l,ω=T2π
a
0
=
2
T
∫
−
l
l
f
(
t
)
d
t
a
n
=
2
T
∫
−
l
l
c
o
s
(
n
ω
t
)
f
(
t
)
d
t
b
n
=
2
T
∫
−
l
l
s
i
n
(
n
ω
t
)
f
(
t
)
d
t
(4)
a_0 = \frac 2T \int_{-l}^l f(t)dt \\ a_n = \frac 2T \int_{-l}^l cos(n\omega t)f(t)dt \\ b_n = \frac 2T \int_{-l}^l sin(n\omega t)f(t)dt \tag{4}
a0=T2∫−llf(t)dtan=T2∫−llcos(nωt)f(t)dtbn=T2∫−llsin(nωt)f(t)dt(4)
4.连续周期傅里叶级数的指数形式
欧拉公式：
e
i
θ
=
c
o
s
(
θ
)
+
i
s
i
n
(
θ
)
e^{i\theta} = cos(\theta) + isin(\theta)
eiθ=cos(θ)+isin(θ)，
正弦函数可以使用指数表示：
c
o
s
(
θ
)
=
e
i
θ
+
e
−
i
θ
2
,
s
i
n
(
θ
)
=
−
i
(
e
i
θ
−
e
−
i
θ
2
)
cos(\theta) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2},sin(\theta) = -i(\frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2})
cos(θ)=2eiθ+e−iθ,sin(θ)=−i(2eiθ−e−iθ)
将正弦函数带入公式（4），得：
f
(
t
)
=
1
T
∑
n
=
−
∞
∞
C
n
e
i
n
ω
t
C
n
=
∫
0
T
f
(
t
)
e
−
n
ω
t
d
t
(5)
f(t) = \frac 1T \sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{in\omega t} \\ Cn =\int_{0}^{T}f(t)e^{-n\omega t} dt\tag{5}
f(t)=T1n=−∞∑∞CneinωtCn=∫0Tf(t)e−nωtdt(5)
其中，
C
n
C_n
Cn为傅里叶系数，
ω
=
2
π
T
\omega = \frac {2\pi}T
ω=T2π为基角频率，
T
T
T为周期。
5.连续函数的傅里叶变换
公式(5)中，函数的周期为T，若
T
−
>
∞
T->\infty
T−>∞，则函数并不是周期函数，
ω
=
2
π
T
\omega = \frac {2\pi}T
ω=T2π,
T
−
∞
,
ω
−
0
,
ω
=
n
x
+
1
ω
−
n
x
ω
=
Δ
ω
T-\infty,\omega-0,\omega = n_{x +1}\omega -n_{x}\omega = \Delta\omega
T−∞,ω−0,ω=nx+1ω−nxω=Δω。
感受现象，若为非周期函数，函数的周期趋近于
∞
\infty
∞，而
ω
、
Δ
ω
\omega、\Delta\omega
ω、Δω趋近于0，离散的频谱变成了连续的频谱。
根据积分的基本定义，黎曼和，即
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
(
f
(
b
)
−
f
(
a
)
)
∗
Δ
x
\int_a^bf(x)dx = (f(b) - f(a)) *\Delta x
∫abf(x)dx=(f(b)−f(a))∗Δx，对
f
(
t
)
f(t)
f(t)和
C
n
C_n
Cn进行变换：
C
n
=
∫
0
T
f
(
t
)
e
−
n
ω
t
d
t
=
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
e
−
n
ω
t
f
(
t
)
=
1
T
∑
n
=
−
∞
∞
C
n
e
i
n
ω
t
=
Δ
ω
2
π
∑
n
=
−
∞
∞
C
n
e
i
n
ω
t
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
C
n
e
i
n
ω
t
d
n
ω
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
F
(
ω
x
)
e
i
ω
x
t
d
ω
x
(6)
Cn =\int_{0}^{T}f(t)e^{-n\omega t} dt \\ = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-n\omega t} \\ f(t) = \frac 1T\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n e^{in\omega t} \\ = \frac {\Delta\omega}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n e^{in\omega t} \\ = \frac {1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty C_n e^{in\omega t}dn\omega \\ = \frac {1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega_x) e^{i\omega_x t}d\omega_x \tag{6}
Cn=∫0Tf(t)e−nωtdt=∫−∞∞f(t)e−nωtf(t)=T1n=−∞∑∞Cneinωt=2πΔωn=−∞∑∞Cneinωt=2π1∫−∞∞Cneinωtdnω=2π1∫−∞∞F(ωx)eiωxtdωx(6)
其中记
n
ω
=
ω
x
,
C
n
=
F
(
ω
x
)
n\omega = \omega_x,Cn = F(\omega_x)
nω=ωx,Cn=F(ωx)。
总结，连续函数的傅里叶变换为
F
(
ω
x
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
e
−
i
ω
x
t
d
(
t
)
f
(
t
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
F
(
ω
x
)
e
i
ω
x
t
d
ω
x
(7)
F(\omega_x) =\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega_x t} d(t)\\ f(t)= \frac {1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(\omega_x) e^{i\omega_x t}d\omega_x \tag{7}
F(ωx)=∫−∞∞f(t)e−iωxtd(t)f(t)=2π1∫−∞∞F(ωx)eiωxtdωx(7)
6.周期序列的离散傅里叶变换
f
N
(
k
)
f_N(k)
fN(k)表示一个周期为N的离散时间序列，
f
N
(
k
)
=
f
N
(
k
+
l
N
)
f_N(k) = f_N(k+lN)
fN(k)=fN(k+lN)，对于连续周期信号，可以分解为一系列角频率为
n
ω
(
n
=
0
,
1
,
−
1
,
2
,
−
2
,
.
.
.
,
)
n\omega(n=0,1,-1,2,-2,...,)
nω(n=0,1,−1,2,−2,...,)的虚指数之和
e
i
ω
n
t
e^{i\omega n t}
eiωnt，同样周期为N的序列同样可以展开为多个虚指数之和
e
i
ω
n
k
=
e
i
n
2
π
N
k
e^{i\omega n k} = e^{i n \frac {2\pi}N k}
eiωnk=einN2πk，这些虚指数序列需要满足：
e
i
n
2
π
N
k
=
e
i
(
n
+
l
N
)
2
π
N
k
e^{i n \frac {2\pi}N k} = e^{i (n + lN) \frac {2\pi}Nk}
einN2πk=ei(n+lN)N2πk , (理由，离散序列的频域是周期的，周期同样为N)，因此周期序列
f
N
(
k
)
f_N(k)
fN(k)的傅里叶级数展开式可以使用有限项表示，取第一个周期
n
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
,
N
−
1
n=0,1,2,...,N-1
n=0,1,2,...,N−1，则其展开式可以写为：
f
N
(
k
)
=
∑
k
=
0
N
−
1
C
n
e
j
n
ω
k
C
n
=
1
N
∑
k
=
0
N
−
1
f
N
(
k
)
e
−
j
n
ω
k
=
1
N
F
n
(
n
ω
)
F
n
(
n
ω
)
=
∑
k
=
0
N
−
1
f
N
(
k
)
e
−
j
n
ω
k
(8)
f_N(k) = \sum_{k=0}^{N-1}C_ne^{jn\omega k} \\ C_n = \frac 1N \sum_{k=0}^{N-1}f_N(k)e^{-jn\omega k} = \frac 1N F_n(n\omega) \\ F_n(n\omega) = \sum_{k=0}^{N-1}f_N(k)e^{-jn\omega k} \tag{8}
fN(k)=k=0∑N−1CnejnωkCn=N1k=0∑N−1fN(k)e−jnωk=N1Fn(nω)Fn(nω)=k=0∑N−1fN(k)e−jnωk(8)
公式8中，
ω
=
2
π
N
\omega=\frac {2\pi}{N}
ω=N2π是一个常数，离散傅里叶系数变换以及逆变换。
7.有限长序列的离散傅里叶变换 （周期）
为了引用周期序列的知识，将有序序列
f
(
n
)
f(n)
f(n)延扩为周期序列
f
N
(
k
)
f_N(k)
fN(k).
对于周期序列
f
n
(
k
)
f_n(k)
fn(k)，第一个周期
k
=
0
,
.
.
.
,
N
−
1
k=0,...,N-1
k=0,...,N−1定义为主值区间，可以将
f
(
k
)
f(k)
f(k)看作
f
N
(
k
)
f_N(k)
fN(k)的主值区间序列。根据公式8，周期序列的傅里叶变换都只限于主值区间，因而将种种变换引申到相同的有限长序列，定义为有限长序列的离散傅里叶变换。
F
(
n
)
=
D
F
T
[
f
(
k
)
]
=
∑
k
=
0
N
−
1
f
(
k
)
e
−
i
2
π
N
k
n
f
(
k
)
=
i
D
F
T
[
F
(
n
)
]
=
1
N
∑
k
=
0
N
−
1
f
(
n
)
e
i
2
π
N
k
n
F(n) = DFT[f(k)] = \sum_{k=0}^{N-1}f(k)e^{-i\frac {2\pi}Nkn} \\ f(k) = iDFT[F(n)] = \frac 1N \sum_{k=0}^{N-1}f(n)e^{i\frac {2\pi}Nkn}
F(n)=DFT[f(k)]=k=0∑N−1f(k)e−iN2πknf(k)=iDFT[F(n)]=N1k=0∑N−1f(n)eiN2πkn
参考：
https://www.bilibili.com/video/BV1Et411R78v/?spm_id_from=333.788.recommend_more_video.1 （连续傅里叶变换的推导）
http://www.elecfans.com/soft/49/52/2020/202002131164102.html（离散傅里叶变换的由来）
