贝塞尔曲线，英文名Bezier Curve，是计算机图形学非常重要的一种曲线
它可以将若干的点，用一条平滑自然的曲线来连接起来
比如我们在地图库中绘制用户行走轨迹时，如果用折线来展示，就比较难看
如果通过贝塞尔曲线，转为曲线来显示，就特别舒服自然了
像安卓中的水纹，波形等，很多就是通过贝塞尔曲线实现的
所以在讲绘制之前，先把这个基础知识给讲了
如图，P0和P2为贝塞尔曲线要经过的点，P1为控制点
选择不同的控制点，可以得到不同的曲线路径，但都可以结果P0和P2
以上图为例，我们来推演下，最简单的贝塞尔曲线是如何确定点的
从P0开始，连接所有控制点，最后再连接到终点P2
我们随便在P0-P1上取一个点Q1，假设Q1的位置为t
t是指Q1到起点的位置，占整条线段长度的比例，所以它的范围是在0-1之间的小数
我们再在P1-P2上位置为t的地方，取一个点Q2
连接Q1-Q2，就形成了图中的绿线
再在Q1-Q2上位置为t的地方，取一个点R，就是图中的黑点
当t从0开始变化，逐渐增长到1，所有的黑点加起来，就形成了图中的红色曲线，它就是一条贝塞尔曲线
从上面的推演过程，我们可以知道，贝塞尔曲线的路径，是一个关于t的函数
它的公式具体如何我们暂时不写出来，但一定是一个比较容易推到出来的公式
因为点确定的过程，就是根据两点的坐标，取线上中间某个比例位置的坐标，这就是个简单的乘法运算
当有多个控制点时，实际也就是进行了多次乘法运算，曲线是一个关于t的n次方的函数
学过高中数学的基本都知道，乘方函数，当变量t是均匀变化的，形成的肯定是一个圆滑连续的曲线
在高数中，这也叫做函数的连续性
上面已经提到，贝塞尔曲线是关于比例t的乘方函数，t最高的次方数，就是贝塞尔曲线的阶数
上面的简单曲线，是一个二阶的贝塞尔曲线，只有一个控制点，公式中t的最高次方为2
L阶的贝塞尔曲线，有L-1个控制点，公式中t的最高次方为L
L阶的贝塞尔曲线公式如下
| 曲线 |
|---|
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| 一阶贝塞尔曲线 |
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| 二阶贝塞尔曲线 |
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| 三阶贝塞尔曲线 |
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| 四阶贝塞尔曲线 |
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| 五阶贝塞尔曲线 |
通过上面的数学公式，我们可以求得贝塞尔曲线上的点，但在编程中编写复杂的数学公式，是有点繁琐的
其实我们可以通过递归函数，直接算出比例t对应的坐标位置
递归运算的效率会比数学公式低，但是更加简单，偷懒的可以使用递归方法
这里我们以四阶贝塞尔曲线为例，简单讲解下递归过程
- 将所有起点-控制点-终点连接起来，形成4条灰色线段
- 每条灰色线段上的t位置取一个点，再连接起来，形成3条绿色线段
- 每条灰色线段上的t位置取一个点，再连接起来，形成2条蓝色线段
- 每条蓝色线段上的t位置取一个点，再连接起来，形成1条粉色线段
- 在粉色线段上的t位置取一个点，这个点就是贝塞尔曲线上t对应的位置
可以看出，整个过程就是一个不断递归的过程，每次在t位置取点，重新连接成新的线段，直到最后只有一个点
这个递归实现起来非常简单，这里就不给出具体代码了
- 用一个List存储全部的坐标值
- 再每相邻两个元素取t位置的中间值，形成一个新的List
- 如此递归，直到List中只剩一个点，这个点就是贝塞尔曲线上t对应的位置
这部分属于数学公式推导，不感兴趣或看不懂的，可以直接跳过，直接使用上面的结论公式即可
设最大阶数为Level，P[n,i]表示递归过程中的所有取点，n表示第几轮递归，i表示P在该轮所有取点中的顺序
已知所有P[0,i]的坐标，就是最初的已知点坐标，每一轮递归，n加1，i的最大值，也就是取点的总数减1
当n=Level时，只能取到唯一一个点，这个点就是我们想要求得的，贝塞尔曲线上比例t对应的点P[Level,0]
通过图示，我们可以很明显地看出，相邻两轮取点间的递推关系
这个递推算法又叫做"德卡斯特里奥算法"，下面的图可以帮助我们更好地理解推理过程
参考文献
贝塞尔曲线（Bezier Curve）原理及公式推导_CCC的专栏-CSDN博客
