电动汽车以环境污染小、噪音低、能源利用效率高、维修方便等优势深受消费者青睐。但现有电动汽车的有线充电方式操作复杂，且存在安全隐患，因此采用无线充电方式对电动汽车进行快速、安全、方便的充电，成为了电动汽车行业所追求的目标。
目前的电动汽车无线充电示意图如图 1 所示。当电动汽车停靠在特定位置时，电网通过地下的发射机构发射高频交变磁场对电动汽车进行无线充电，具有操作方便、空间占用小等优点，但是目前电动汽车生产厂家众多，无线充电必须满足“专车专用”的原则，即专有车型必须使用专用的无线充电设备，造成了电力资源的极大浪费。
因此通过对无线充电的非车载部分进行优化，使得无线充电设备与不同生产厂家的电动汽车之间互联互通具有重要意义。
无线充电系统结构等效图见图 2。无线充电系统是由车载部分与非车载部分组成。车载部分由一个RLC电路与负载组成，非车载部分由电源和另一个RLC电路组成。两个电感元件L1（发射线圈电感，也称为匹配阻抗）与L2（接收线圈电感）通过耦合产生磁场来传输电能，可假设两线圈相互之间的互感仅仅与距离相关。
某实验室为了研究无线充电传输效率的问题，总共做了 10 次实验。附件 1 为实验室中无线充电车载部分与地面发射部分在不同距离下的 10 次实验数据，实验是在发射和接收线圈垂直射影完全重合的条件下进行的。附件 2 为实验所用无线充电地面发射装置的参数。附件 3 为实验设备发射装置电磁-机械的可调范围。
请参考相关文献，建立数学模型，回答下列问题：
1.在发射与接收线圈完全谐振下，建立发射频率、匹配阻抗与无线电能传输效率的数学模型，并结合附件 1、附件 2、附件 3 的相关数据，计算附件 1 中 10 次实验无线充电的电能传输效率，将结果展示在正文中。
2.由于电动汽车自身的设计，其无线充电车载部分与地面距离可能是规定内的任意值。改造第 1 问的数学模型，建立发射频率、匹配阻抗、两线圈距离与无线电能传输效率的数学模型。将附件 1 第 1 次实验中两线圈的距离 100mm改为 150mm、200mm、250mm时，重新计算无线充电的电能传输效率并作比较分析。
3.前人研究表明，通过改变发射频率、改变匹配阻抗可以提升传输效率。请给出在附件 1 中第 1 次实验（两线圈距离为 100mm）情况下，可否通过调整发射频率、匹配阻抗值使得传输效率达到最大？最大值为多少？
4.当电动汽车停车进行无线充电时，很难保证发射线圈和接收线圈完全垂直射影重合，总会出现或多或少的偏离，可参见“相关说明”中的图 1，其中线圈半径为r，接收线圈（距离发射线圈高h）圆心向X轴正方向偏离了a（mm）。延续第 3 问的研究，请计算距地面垂直距离h为 100mm时，保证最高传输效率大于 80%前提下a的最大值。
电动汽车的无线充电是一个涉及现场环境、充电效率、结构设计等多方面的复杂问题。由于生产电动汽车的厂家越来越多，不同厂家生产的电动汽车与充电设备的“互通互用”问题一直是阻碍电动汽车发展与推广的因素之一。因此，本文基于基尔霍夫定律和诺伊曼公式，对电动汽车无线充电系统进行建模，并使用 Matlab 软件利用递归遍历算法对模型进行求解，为无线充电系统的设计提供了理论依据，计算了系统中各参数对于传输效率的动态影响。
问题 1，利用因子分析思想，基于基尔霍夫定律和电磁学基本理论，引入 A 参数、电流电压传输函数、品质因子和耦合系数等概念，确定无线充电设备在受特定约束条件下的无线充电模型。并对模型进行分析，求解出传输效率的目标函数。利用 matlab 软件对无线充电传能模型进行积分和微分方程求解，得到所提供的十次无线充电试验的电能传输效率，分别为 56.20%，54.88%，52.90%，50.79%，48.39%，47.05%，46.02%，43.65%，42.93%，41.97%。
问题 2，在现实使用中，无线充电车载部分与地面部分的垂直距离可能为规定内的任意值。针对这一现象，在问题 1 的基础上引入了两线圈垂直距离作为进一步约束的条件。经过建模分析，发现线圈间距只对线圈的互感产生影响。利用诺伊曼公式和电偶极子的赫兹矢量积分思想，建立线圈间距对线圈互感影响的数学模型，对数学模型利用matlab 进行非线性优化后与问题一得到的模型融合，得到了相应的加入两线圈距离影响的 无 线 充 电 传 能 模 型 。 针 对 第 一 次 实 验 的 条 件 进 行 求 解 ， 得 出 线 圈 距 离 为100mm,150mm,200mm 和 250mm 时无线充电的传输效率分别为：55.959%，54.012%，51.269%，47.609%。对结果进行分析，得到不考虑额外条件在距离因素影响下电动汽车的无线充电传能效率会随着线圈距离的增加而降低的结论。
问题 3，与问题 2 类似，我们将发射频率和发射线圈电感视为变量，而将两线圈垂直距离视为定值。基于此 x 建立了针对无线充电传能效率的多约束单目标求解模型。本文采用了递归遍历算法对求解模型进行求解以求得最优解。根据求解结果可知，在所给发射频率和发射线圈电感调节范围内，当发射频率为 100kHz，匹配阻抗为 200uH 时该系统的无线充电传能效率达到最大值，为 92.7698%。
问题 4，在问题 3 基础上增加两线圈径向距离影响，经过建模分析，发现径向距离只对线圈的互感产生影响。利用诺伊曼公式和电偶极子的赫兹矢量积分思想，建立线圈径向距离对线圈互感影响的数学模型，对数学模型利用 matlab 进行非线性优化后与问题一得到的模型融合，得到了相应的加入两线圈距离影响的无线充电传能模型。使用递归遍历算法对模型进行计算，筛选符合传输效率满足要求的线圈径向距离。最终得到最高传输效率大于 80%时，线圈径向距离也就是偏离距离 a 最大值为 30.68cm。
为了研究两线圈之间的电能无线传输过程，我们需要建立线圈之间电磁学传递模型。在分析问题、建立模型之前，我们首先对一些电磁学的基本知识进行一定的介绍：
(1)电磁感应：在闭合电路中，当穿过电路的磁通量发生改变时，电路中就会生成感应电流。这种因为磁场改变而在电路中产生电流的现象称之为电磁感应。
(2)磁耦合谐振：通过在电磁感应无线充电电路中加装补偿装置，使两边线圈的谐振频率一致。当传输频率等于谐振频率时，线圈之间会产生磁耦合谐振效应，发射线圈和接收线圈的磁场相位被同步，耦合状态由松散状况转为强化状态。发射线圈产生的磁场可在接收线圈上产生最大的电流，借此可以完成远距离和高效率的无线电能传输。
(3)基尔霍夫定律：基尔霍夫定律是计算和分析电路的基础，包括基尔霍夫电流定律(KCL)和基尔霍夫电压定律(KVL)。
基尔霍夫电流定律的基本表述为：所有进入某节点的电流的总和等于所有离开这节点的电流的总和。
基尔霍夫电压定律的基本表述为：沿着闭合回路所有元件两端的电势差（电压）的代数和等于零。
(4)诺依曼公式：通过对电偶极子产生磁场的积分来计算两元器件间互感值的公式，其具体表述为：
问题一给出了不同线圈间距时发射线圈和接收线圈的参数，要求建立发射频率、匹配阻抗与无线电能传输效率的数学模型。题目中已经给出电磁学等效电路图，需要根据此电路图建立两线圈之间电能传输的模型。基于基尔霍夫定律可以得出两线圈感应电流、电压的大小，引入品质因数和耦合系数的概念，将输入功率与输出功率用其感应电流、电压表示出来，然后将其比值转化为关于品质因数和耦合系数之间的关系，从而建立出输入功率与输出功率之比，也就是传输效率的数学模型。建立完成模型后分析其收到的约束条件，寻找算法进行计算得出结果。
问题二在问题一的基础上加入了两线圈之间的距离对模型的影响。在无线充电系统中，改变两线圈之间的距离，随之而改变最大的是两线圈之间的互感。要解决此题，只需在问题一的模型上加入互感对距离的模型。由互感的定义和诺伊曼公式可以得出距离对互感影响的模型。对第一问的模型进行扩充，加入距离对互感的影响，分析其收到的新约束条件，寻找算法进行计算得出结果。
问题三是建立在问题一所建立的电能传输模型基础上的最大值求解问题。只需找到其约束条件，然后采用递归遍历算法对离散化后的约束条件进行求解，即可得出电能无线传输效率的最大值。以及最大值出现时的发射频率和发射线圈电感。
问题四基于问题三结论，找到传输效率最大时的发射频率和发射线圈电感，在这两个参数保持不变的基础上改变接收线圈圆心的偏移量a，找到传输效率高于 80%时，接收线圈圆心的最大偏移量a。在无线充电系统中，改变接收线圈圆心的偏移量a，随之改变最大的仍是两线圈之间的互感。由互感的定义和诺伊曼公式可以得出接收线圈圆心偏移量a对互感影响的模型。要解决此题，只需引入接收线圈圆心偏移量a对线圈互感的影响，对第一问模型进行扩充，基于第三问的结论，采用递归遍历算法对离散化后的约束条件进行求解，即可得出接收线圈圆心的最大偏移量a 。
为了便于问题的研究，对题目中某些条件进行简化及合理的进行假设：
1.在此无线充电系统中，两线圈视为理想线圈，且工作时不受外界磁场干扰。
2.两线圈均视为由 10 匝圆形线圈构成，且每匝线圈的半径均为 35cm。
3.题目中的电源、电感、电容、电阻等均视为理想元器件，不随外界条件的变化而变化。
4.题目中的负载为纯阻性负载，其流过电压与电流的比值为接收装置电阻 R2。
5.假设无线传输充电装置采用的线圈为平面螺旋线圈。
（1）确定目标函数
建立如图 5.1 所示的无线充电系统等效电路，将发射线圈所在电路与接收线圈所在电路均等效为 RLC 电路与电源或者负载相连接。两部分电路之间通过线圈的谐振完成电能传输。
为了更直观的了解并解决问题，对图 5.1 进行简化构建其一维无线传能模型，该模型如下图 5.2。
考虑到本模型应用了大量的电磁学知识，而且本模型需要考虑积分、微分方程解法等问题，综合考虑，本文选用 matlab 软件对此模型进行求解。为求解此问题，我们采取直接利用结论公式进行计算的方式对模型进行计算，具体求解过程如下：
通过对模型的求解，我们得到以下结论：
第 1 次实验的效率为： 56.196%
第 2 次实验的效率为： 54.878%
第 3 次实验的效率为： 52.896%
第 4 次实验的效率为： 50.782%
第 5 次实验的效率为： 48.391%
第 6 次实验的效率为： 47.053%
第 7 次实验的效率为： 46.022%
第 8 次实验的效率为： 43.648%
第 9 次实验的效率为： 42.929%
第 10 次实验的效率为： 41.962%
其中线圈间距与传输效率如图 5.3 所示。
通过对结果的分析，我们可以得到如下结论：
在电路保持不变、两线圈垂直投影完全重合、发射频率固定时，两线圈之间的传输效率随距离的增大而减小。原因是两线圈间的互感随距离的增大而减小，从而影响传输效率也随之减小。
根据模型计算互感的方法绘制出了模型的理论建模值曲线，同时对比互感值的十次实验结果，发现：互感的建模值与实验值拟合效果较好，能够反映不同距离下互感的变化特征及互感值的大小。曲线如下图 6.2 所示。
根据模型进行求解，可以得到两线圈的距离 100mm 改为题目指定值时的无线充电的电能传输效率，其计算结果见下表 6.1。因此，在距离为 100 毫米时，其电能传输效率为 55.959%；在距离为 150 毫米时，其电能传输效率为 54.012%；在距离为 200 毫米时，其电能传输效率为 51.269%；在距离为 250 毫米时，其电能传输效率为 47.609%。根据模型计算结果，绘制出此情况下电能传输效率的变化趋势图，如下图 6.3 所示。
最后求出矩阵中的最值就可以找到其最值的频率和匹配阻抗条件。考虑到问题三是在问题一基础上求最优解，我们采用递归遍历算法对模型进行求解。
在第一次实验的情况下，通过改变发射频率和匹配阻抗可以提升无线充电传输效率，发射线圈电感的调节范围为 100~200uH，发射频率的调节范围为 5~100KHz，通过模型对不同电感值和不同频率值的矩阵组合进行划分、枚举遍历、计算等过程，可以得到在规定的电感和频率范围下无线充电传输效率的最大值。无线充电传输效率的最大值为92.7698%，此时发射频率为 100Hz，匹配阻抗为 200uH。
同时，对不同电感值和不同频率值的矩阵组合的效率计算值进行绘图，X 坐标为发射频率，Y 坐标为匹配阻抗，Z 坐标表示传输效率。可以得到如下图 7.1~图 7.3 所示的传输效率曲面图，曲面图的任意一点代表该频率和匹配阻抗值下的传输效率。
根据建立的模型，分析了接收线圈圆心向 X 轴正方向偏离不同的距离后，其无线充电的传输效率的变化情况，同时根据题目要求的传输效率不低于 80%，计算出了保证该效率时所要求的最大偏离距离。模型分析和计算得知，保证该效率时的最大偏离距离为30.68cm，当偏移距离小于 30.68cm 时，系统的传输效率大于 80%，当偏移距离大于30.68cm 时，系统的传输效率小于 80%。
同时分析偏移距离与传输效率曲线（如下图 8.2 所示），可以得出传输效率的变化规律，传输效率随着偏移距离的增大会缓慢下降，在偏移距离达到线圈半径大小时，传输效率降为了 74%左右
其后传输效率急速下降；当偏移距离到达一定的值后，由于线圈异侧对应和两线圈电流反向的缘故，会出现传输效率先缓慢增大再缓慢减小的现象，在偏移距离达到线圈半径两倍大小左右时，传输效率到达了其异侧对应下的极值，约为 22%，最后随着距离的不断增大，传输效率趋于 0。
clc;clear;
data = [100 162.21 163.6 63.83
125 161.46 163.04 51.49
150 161.36 163.15 40.17
175 161.75 162.87 33.24
200 161.79 162.96 28.24
225 161.59 163.15 26.17
250 161.53 163.25 24.78
275 161.35 162.72 22.12
300 162.61 163.74 21.25
325 161.39 163.26 20.53]; % 定义实验数据矩阵
z = zeros(10,1); % 定义一个值为 0 的列
data = [data,z]; % 拼接矩阵
LT = data(:,2); % 发射端 L1 的电感值数据
LRL = data(:,3); % 接收端 L2 的电感值数据
M = data(:,4); % 互感值数据
f = 30; % 发射频率
RT = 1.55; % 发射端电阻 R1
RRL = 432.24; % 接收端总电阻值
RR = 1.55; % 接收端 R2 的电阻值
RL = RRL-RR; % 接收端 RL 的电阻值
CT = 0.1740; % 发射端电容
CRL = 0.1725; % 接收端电容
% 单位转换
M = M / 1000000;
f = f * 1000;
CT = CT / 1000000;
LT = LT / 1000000;
LRL = LRL / 1000000;
CRL = CRL / 1000000;
omega = f * 2 * pi; % 角频率 ω
% 循环法计算传输效率
for i = 1:10
k12(i) = M(i) / sqrt(LT(i)*LRL(i)); % 耦合系数
Q1(i) = omega * LT(i) / RT; % 发射端品质因数
QD(i) = omega * LRL(i) / RRL; % 接收端品质因数
mu(i) = 1/(1 + 2 / k12(i)^2 / Q1(i)^2 + QD(i) / k12(i)^2 / Q1(i) ...
+ (k12(i)^2+Q1(i)^-2)/k12(i)^2/Q1(i)/QD(i)); % 计算传输效率
end
% 将传输效率数据保存至 data 矩阵
for i = 1:10
data(i,5) = mu(i);
end
% 输出模型计算结果
mu = mu * 100;
mu = roundn(mu,-3);
for j = 1:10
disp(['第',num2str(j),'次实验的效率为： ',num2str(mu(j)),'%'])
end
clc;clear;
data = [100 162.21 163.6 63.83
125 161.46 163.04 51.49
150 161.36 163.15 40.17
175 161.75 162.87 33.24
200 161.79 162.96 28.24
225 161.59 163.15 26.17
250 161.53 163.25 24.78
275 161.35 162.72 22.12
300 162.61 163.74 21.25
325 161.39 163.26 20.53]; % 定义实验数据矩阵
r = 350; % 线圈半径
h = 100; % 线圈轴向距离
r = r / 1000;
h = h / 1000;
N=10; % 匝数
mu0 = 4 * pi * 10^-7; % 真空磁导率
% 定义和计算互感值模型函数
for i = 1:4
h(i) = (i*50+50)/1000; % 轴向距离 100，150，200，250
f=@(x,y) r.^2.*cos(x-y)./...
sqrt(2.*r.^2-2.*r.^2.*cos(x-y)+h(i).^2);% 定义被积函数 f(x,y)
M1(i)=integral2(f,0,2*pi,0,2*pi); % 对函数 f(x,y)做定积分
M1(i)=mu0*M1(i)/4/pi;
M1(i)=N^2*M1(i)*1000000; % 互感值
end
% 绘制互感值的实验数据曲线
M = data(:,4);
h = data(:,1);
plot(h,M,'b.-');
hold on;
% 绘制模型计算的互感值曲线
for i =1:100
h=linspace(0,350,100);
h(i) = 3.5*i/1000;
f=@(x,y) r.^2.*cos(x-y)./sqrt(2.*r.^2-2.*r.^2.*cos(x-y)+h(i).^2);
Ms(i)=integral2(f,0,2*pi,0,2*pi);
Ms(i)=mu0*Ms(i)/4/pi;
Ms(i)=N^2*Ms(i)*1000000;
end
h(100)=350;
plot(h,Ms,'r-');hold on;
LT = data(1,2); % 第一次实验发射端 L1 的电感值
LRL = data(1,3); % 第一次实验接收端 L2 的电感值
f = 30; % 发射频率
RL = 430.69; % 接收端 RL 的电阻值
RT = 1.55; % 发射端电阻 R1
RR = 1.55; % 接收端 R2 的电阻值
RRL = RR+RL; % 接收端总电阻值
CT = 0.17; % 发射端电容
CRL = 0.17; % 接收端电容
% 单位转换
f = f * 1000;
CT = CT / 1000000;
LT = LT / 1000000;
LRL = LRL / 1000000;
CRL = CRL / 1000000;
omega = f * 2 * pi; % 角频率 ω
% 循环法计算传输效率
for i = 1:4
M1(i) = M1(i) / 1000000;
k12(i) = M1(i) / sqrt(LT*LRL); % 耦合系数
Q1 = omega * LT / RT; % 发射端品质因数
QD = omega * LRL / RRL; % 接收端品质因数
mu(i) = 1/(1 + 2 / k12(i)^2 / Q1^2 + QD / k12(i)^2 / Q1 ...
+ (k12(i)^2+Q1^-2)/k12(i)^2/Q1/QD); % 传输效率
end
% 输出计算结果
mu = mu * 100;
mu = roundn(mu,-3);
for j = 1:4
disp(['两个线圈距离 ',num2str(50+50*j),'mm 时效率为：
',num2str(mu(j)),'%'])
end