现如今，Lpapunov线性化方法已经成为线性控制中的代表性理论判据；并且，Lyapunov直接法已经成为非线性系统分析和设计中最为重要的方法。
3.1 非线性系统和平衡点
非线性系统
非线性系统可以用如下微分方程的形式来表示：
x ˙ = f ( x , t ) \dot{x} = f(x,t) x˙=f(x,t)
其中x和f都是（nx1）的向量，n叫做系统的阶数。
自治与非自治系统
根据系统矩阵A是否是时间t的函数，线性系统可以分为时变和时不变的。
但是在非线性系统中，这个形容词变成了自治和非自治。
如果一个非线性系统，其状态方程中不含有时间变量t，那么这个系统是自治的
也就是具有如下状态方程：
x ˙ = f ( x ) \dot{x} = f(x) x˙=f(x)
注意：对于控制系统，上面的定义都是针对闭环系统而言的。而一个控制系统一般都是包括系统和控制器两个部分。因此，一个系统的非自治特性可能由两个方面导致：系统中的时变或者控制器中的时变。
也就是说，一个时不变系统，如果他的控制器取决于时间，那么他们组成的那个闭环系统就是非自治的。
自治与非自治系统的根本区别在于：自治系统的状态轨迹是不依赖于初始时刻的。而非自治系统不是这样。
平衡点
一旦系统状态到达平衡点，那么该系统将一直保持在平衡点。
数学上来说，常向量X*满足：
f ( x ∗ ) = 0 f(x^*) = 0 f(x∗)=0
常规运动
实际系统中，可能更加关心系统运动的稳定性，而不是仅仅在平衡点附近的稳定性。也就是系统在扰动之后能否回复到原来的运动轨迹。为了简化分析，这种问题也可以转化成平衡点附近的稳定性问题。
比如一个系统在初始条件x(0)=x0下的运动轨迹是x*（t），当给初始条件增加了一个扰动，初始条件变成了x(0)=x0+nx0，那么此时的运动轨迹为x(t)；
所以误差e(t):
e ( t ) = x ( t ) − x ∗ ( t ) e(t) = x(t)-x^*(t) e(t)=x(t)−x∗(t)
此时，e(t)就满足了如下的非自治微分方程：
e ˙ = f ( x ∗ + e , t ) − f ( x ∗ , t ) = g ( e , t ) \dot{e} = f(x^*+e,t)-f(x^*,t) = g(e,t) e˙=f(x∗+e,t)−f(x∗,t)=g(e,t)
可以通过分析这个扰动方程的稳定性（并且该系统的平衡点位于原点），来等价的判断原系统的稳定性。
3.2 稳定性的概念
一些简化的记号：
- 球形区域内部
B R ⇒ ∥ x ∥ < R B_{R} \quad \Rightarrow \quad \| x \| < R BR⇒∥x∥<R
- 球面区域
S R ⇒ ∥ x ∥ = R S_{R} \quad \Rightarrow \quad \| x \| = R SR⇒∥x∥=R
稳定性与非稳定性
平衡状态x=0就是稳定的，用数学语言描述：
∀ R > 0 , ∃
