针孔照相机模型是计算机视觉中广泛使用的照相机模型。该照相机从一个小孔采集射到暗箱内部的光线，在针孔照相机模型中，在光线投影到图像平面之前，从唯一一个点经过，即照相机中心C。如下图所示：
据
x
=
f
X
Z
x=\frac{fX}{Z}
x=ZfX以及
y
=
f
Y
Z
y=\frac{fY}{Z}
y=ZfY可推出：
用概率的视角去看最小二乘问题
• 特征点投影方程:
• 给定{(ui,vi)}，标定参数矩阵 M 的似然函数为：
• 给定{(ui,vi)}，标定参数矩阵 M 似然函数的对数为:
相应求解策略: 牛顿方法、高斯-牛顿方法、Levenberg-Marquardt算法等
相机标定优点：
• 仅需要平面标定板，拍摄若干张图片
• 标定板中的模式十分灵活，可以是棋盘格，也可以是其他几何结构已知的图形
• 实验结果表明具有很好的标定精度
• 具有很强的灵活性
具体代码：
import cv2
import numpy as np
import glob
# 找棋盘格角点
# 阈值
criteria = (cv2.TERM_CRITERIA_EPS + cv2.TERM_CRITERIA_MAX_ITER, 30, 0.001)
#棋盘格模板规格
w = 11 #内角点个数，内角点是和其他格子连着的点
h = 8
# 世界坐标系中的棋盘格点,例如(0,0,0), (1,0,0), (2,0,0) ....,(8,5,0)，去掉Z坐标，记为二维矩阵
objp = np.zeros((w*h,3), np.float32)
objp[:,:2] = np.mgrid[0:w,0:h].T.reshape(-1,2)
# 储存棋盘格角点的世界坐标和图像坐标对
objpoints = [] # 在世界坐标系中的三维点
imgpoints = [] # 在图像平面的二维点
images = glob.glob('./camerapic/*.jpg')
for fname in images:
img = cv2.imread(fname)
gray = cv2.cvtColor(img,cv2.COLOR_BGR2GRAY)
# 找到棋盘格角点
# 棋盘图像(8位灰度或彩色图像) 棋盘尺寸 存放角点的位置
ret, corners = cv2.findChessboardCorners(gray, (w,h),None)
# 如果找到足够点对，将其存储起来
if ret == True:
# 角点精确检测
# 输入图像 角点初始坐标 搜索窗口为2*winsize+1 死区 求角点的迭代终止条件
cv2.cornerSubPix(gray,corners,(11,11),(-1,-1),criteria)
objpoints.append(objp)
imgpoints.append(corners)
# 将角点在图像上显示
cv2.drawChessboardCorners(img, (w,h), corners, ret)
cv2.imshow('findCorners',img)
cv2.imwrite('corner.jpg',img)
cv2.waitKey(1000)
cv2.destroyAllWindows()
#标定、去畸变
# 输入：世界坐标系里的位置 像素坐标 图像的像素尺寸大小 3*3矩阵，相机内参数矩阵 畸变矩阵
# 输出：标定结果 相机的内参数矩阵 畸变系数 旋转矩阵 平移向量
ret, mtx, dist, rvecs, tvecs = cv2.calibrateCamera(objpoints, imgpoints, gray.shape[::-1], None, None)
# mtx：内参数矩阵
# dist：畸变系数
# rvecs：旋转向量 （外参数）
# tvecs ：平移向量 （外参数）
print (("ret:"),ret)
print (("mtx:\n"),mtx) # 内参数矩阵
print (("dist:\n"),dist) # 畸变系数 distortion cofficients = (k_1,k_2,p_1,p_2,k_3)
print (("rvecs:\n"),rvecs) # 旋转向量 # 外参数
print (("tvecs:\n"),tvecs) # 平移向量 # 外参数
# 去畸变
img2 = cv2.imread('./camerapic/12.jpg')
h,w = img2.shape[:2]
# 我们已经得到了相机内参和畸变系数，在将图像去畸变之前，
# 我们还可以使用cv.getOptimalNewCameraMatrix()优化内参数和畸变系数，
# 通过设定自由自由比例因子alpha。当alpha设为0的时候，
# 将会返回一个剪裁过的将去畸变后不想要的像素去掉的内参数和畸变系数；
# 当alpha设为1的时候，将会返回一个包含额外黑色像素点的内参数和畸变系数，并返回一个ROI用于将其剪裁掉
newcameramtx, roi=cv2.getOptimalNewCameraMatrix(mtx,dist,(w,h),0,(w,h)) # 自由比例参数
dst = cv2.undistort(img2, mtx, dist, None, newcameramtx)
# 根据前面ROI区域裁剪图片
x,y,w,h = roi
dst = dst[y:y+h, x:x+w]
cv2.imwrite('cameraresult.jpg',dst)
# 反投影误差
# 通过反投影误差，我们可以来评估结果的好坏。越接近0，说明结果越理想。
# 通过之前计算的内参数矩阵、畸变系数、旋转矩阵和平移向量，使用cv2.projectPoints()计算三维点到二维图像的投影，
# 然后计算反投影得到的点与图像上检测到的点的误差，最后计算一个对于所有标定图像的平均误差，这个值就是反投影误差。
total_error = 0
for i in range(len(objpoints)):
imgpoints2, _ = cv2.projectPoints(objpoints[i], rvecs[i], tvecs[i], mtx, dist)
error = cv2.norm(imgpoints[i],imgpoints2, cv2.NORM_L2)/len(imgpoints2)
total_error += error
print(("total error: "), total_error/len(objpoints))
在上述代码中，要根据实际棋盘格大小对w,h进行修改。
角点检测结果：
重投影误差：
内参矩阵：
畸变系数：
外部参数：
rvecs:
(array([[-0.53751538],
[-0.27349341],
[-1.50241459]]), array([[-0.5302993 ],
[ 0.33237322],
[ 1.48401626]]), array([[0.08588183],
[0.36752958],
[1.56637276]]), array([[-0.29483233],
[-0.13898612],
[ 1.65743176]]), array([[-0.15481409],
[-0.23173761],
[ 1.58424361]]), array([[-0.38077198],
[-0.23630795],
[-1.61963336]]), array([[-0.06514084],
[-0.4745765 ],
[-1.6579657 ]]), array([[-0.5965594 ],
[-0.12665278],
[-0.04111309]]), array([[-1.04189225],
[-0.20493687],
[-0.0993469 ]]), array([[-0.65034096],
[ 0.52544057],
[ 1.5196254 ]]), array([[-0.59853968],
[ 0.44154684],
[ 1.43108717]]), array([[-0.50919899],
[ 0.27562852],
[ 1.48795902]]), array([[-0.50340326],
[ 0.23135469],
[ 1.49072473]]), array([[-0.81105537],
[-0.51656905],
[-1.38415545]]), array([[-0.55954844],
[-0.36797778],
[-1.44723869]]), array([[-0.23832677],
[-0.10963373],
[-1.54632327]]), array([[ 0.1900795 ],
[-0.91458788],
[-2.99245331]]))
tvecs:
(array([[-3.78627999],
[ 4.10406551],
[16.17246088]]), array([[ 2.73704475],
[-4.85252413],
[21.55524262]]), array([[ 3.75185182],
[-4.19235299],
[17.0177269 ]]), array([[ 4.42589014],
[-2.62115354],
[20.53702283]]), array([[ 4.40443606],
[-4.07921583],
[20.53349159]]), array([[-4.88768598],
[ 4.99617116],
[19.13016927]]), array([[-5.95585207],
[ 4.87125293],
[15.35060197]]), array([[-9.57964448],
[ 0.07111093],
[24.23082017]]), array([[-9.45676579],
[ 4.81349824],
[21.23485356]]), array([[ 4.91589789],
[-6.65930971],
[21.02923743]]), array([[ 3.09430201],
[-5.78925973],
[20.92347233]]), array([[ 2.70764752],
[-6.49958949],
[20.39641733]]), array([[ 2.4584561 ],
[-5.0849619 ],
[20.91293371]]), array([[-2.73430696],
[ 3.46792206],
[14.36343795]]), array([[-3.80156349],
[ 1.99915271],
[15.60973349]]), array([[-4.39262479],
[ 2.84919034],
[18.16028186]]), array([[ 2.12616603],
[ 8.30914049],
[15.52773437]]))
反投影误差:
畸变矫正：
原图：
校正后的图：
