本文仅用于个人学习记录，使用的教材为汤家凤老师的《高等数学辅导讲义》。本文无任何盈利或者赚取个人声望的目的，如有侵权，请联系删除！
设y = f(x)在x = a处可导，则f(x)在x = a处导数的等价定义为f’(a) = lim Δ x → 0 \lim_{Δx\rightarrow\ 0} limΔx→ 0 f ( a + Δ x ) − f ( a ) Δ x \frac{f(a + Δx) - f(a)}{Δx} Δxf(a+Δx)−f(a) = lim h → 0 \lim_{h\rightarrow\ 0} limh→ 0 f ( a + h ) − f ( a ) h \frac{f(a + h) - f(a)}{h} hf(a+h)−f(a) = lim x → a \lim_{x\rightarrow\ a} limx→ a f ( x ) − f ( a ) x − a \frac{f(x) - f(a)}{x - a} x−af(x)−f(a)
lim h → 0 − \lim_{h\rightarrow\ 0-} limh→ 0− f ( a + h ) − f ( a ) h \frac{f(a + h) - f(a)}{h} hf(a+h)−f(a) = lim x → a − \lim_{x\rightarrow\ a-} limx→ a− f ( x ) − f ( a ) x − a \frac{f(x) - f(a)}{x - a} x−af(x)−f(a)称为f(x)在x = a处的左导数，记为f-'(a)。
lim h → 0 + \lim_{h\rightarrow\ 0+} limh→ 0+ f ( a + h ) − f ( a ) h \frac{f(a + h) - f(a)}{h} hf(a+h)−f(a) = lim x → a + \lim_{x\rightarrow\ a+} limx→ a+ f ( x ) − f ( a ) x − a \frac{f(x) - f(a)}{x - a} x−af(x)−f(a)称为f(x)在x = a处的右导数，记为f+'(a)。
划重点
设y = f(x)，Δx = x - x0，Δy = f(x0 + Δx) - f(x)，若Δy = AΔx + o(Δx)，则称f(x)在x = x0处可微，其中AΔx称为y = f(x)在x = x0处的微分，记为dy|x=x0 = AΔx，或dy|x=x0 = Adx。AΔx又称为线性部分。
划重点
根本还是求极限。用到了两个结论
f(x)在某点连续的充要条件是在该点的左极限等于右极限等于函数值。
f(x)在某点可导的充要条件是在该点的左右导数都存在且相等。
本题答案是不一定，是通过举例特殊函数在特殊点处的可导性来说明的。
| 原函数 | 一阶导函数 | 特别的 |
|---|---|---|
| C‘ | 0 | |
| (xa)’ | axa-1 | ( x \sqrt[]{x} x )’ = 1 2 x \frac{1}{2\sqrt[]{x}} 2x 1，( 1 x \frac{1}{x} x1)’ = - 1 x 2 \frac{1}{x\ ^2} x 21 |
| (ax)’ | axlna（a> 0，a ≠ 1） | (ex) = ex |
| (logax)’ | 1 x l n a \frac{1}{xlna} xlna1（a> 0，a ≠ 1） | (ln x)’ = 1 x \frac{1}{x} x1 |
三角函数和反三角函数求导
| 原函数 | 一阶导函数 |
|---|---|
| (sin x)’ | cos x |
| (cos x)’ | -sin x |
| (tan x)’ | sec2 x |
| (cot x)’ | -csc2 x |
| (sec x)’ | sec x tant x |
| (csc x)’ | -csc x cot x |
| (arcsin x)’ | 1 1 − x 2 \frac{1}{\sqrt[]{1-x\ ^2}} 1−x 2 1 |
| (arccos x)’ | - 1 1 − x 2 \frac{1}{\sqrt[]{1-x\ ^2}} 1−x 2 1 |
| (arctan x)’ | 1 1 + x 2 \frac{1}{1+x\ ^2} 1+x 21 |
| (arccot x)’ | - 1 1 + x 2 \frac{1}{1+x\ ^2} 1+x 21 |
| (sin x)(n) | sin(x + n Π 2 \frac{nΠ}{2} 2nΠ) |
| (cos x)(n) | cos(x + n Π 2 \frac{nΠ}{2} 2nΠ) |
| ( 1 a x + b \frac{1}{ax + b} ax+b1)(n) | ( − 1 ) n n ! a n ( a x + b ) n + 1 \frac{(-1)\ ^nn!a\ ^n}{(ax + b)\ ^n\ ^+\ ^1} (ax+b) n + 1(−1) nn!a n |
设y = y(x)是由
{
x
=
φ
(
t
)
y
=
ψ
(
t
)
\begin{cases} x = φ(t)\\[1ex] y = ψ(t) \end{cases}
{x=φ(t)y=ψ(t)
确定的函数，其中φ(t)，ψ(t)可导且φ’(t) ≠ 0，由
{
x
=
φ
(
t
)
y
=
ψ
(
t
)
\begin{cases} x = φ(t)\\[1ex] y = ψ(t) \end{cases}
{x=φ(t)y=ψ(t)
确定的函数称为参数方程确定的函数，且
d
y
d
x
\frac{d_y}{d_x}
dxdy =
d
y
d
t
d
x
d
t
\frac{\frac{d_y}{d_t}}{\frac{d_x}{d_t}}
dtdxdtdy =
ψ
′
(
t
)
φ
′
(
t
)
\frac{ψ'(t)}{φ'(t)}
φ′(t)ψ′(t)。
若φ(t)，ψ(t)二阶可导且φ’(t) ≠ 0，则 d y 2 d x 2 \frac{d\ ^2_y}{d_x\ ^2} dx 2d y2 = φ ′ ( t ) ψ ′ ′ ( t ) − φ ′ ′ ( t ) ψ ′ ( t ) φ ′ 3 ( t ) \frac{φ'(t)ψ''(t) - φ''(t)ψ'(t)}{φ'\ ^3(t)} φ′ 3(t)φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t)
以下两种情形也归结为参数方程的导数
（1）由
{
F
(
x
,
t
)
=
0
G
(
y
,
t
)
=
0
\begin{cases} F(x,t) = 0\\[1ex] G(y,t) = 0 \end{cases}
{F(x,t)=0G(y,t)=0
确定的y = y(x)，求
d
y
d
x
\frac{d_y}{d_x}
dxdy。
（2）设函数y = y(x)对应的极坐标形式为r = r(θ)，求 d y d x \frac{d_y}{d_x} dxdy。
先将r = r(θ)转化成参数形式
{
x
=
r
(
θ
)
c
o
s
θ
y
=
r
(
θ
)
s
i
n
θ
\begin{cases} x = r(θ)cosθ\\[1ex] y = r(θ)sinθ \end{cases}
{x=r(θ)cosθy=r(θ)sinθ
则
d
y
d
x
\frac{d_y}{d_x}
dxdy =
r
′
(
θ
)
s
i
n
θ
+
r
(
θ
)
c
o
s
θ
r
′
(
θ
)
c
o
s
θ
−
r
(
θ
)
s
i
n
θ
\frac{r'(θ)sinθ + r(θ)cosθ}{r'(θ)cosθ - r(θ)sinθ}
r′(θ)cosθ−r(θ)sinθr′(θ)sinθ+r(θ)cosθ
方程两边对x求导，需要注意的是y是x的函数。
本题不仅涉及到参数方程确定的函数求导，还用到了隐函数求导。
