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INS/GNSS组合导航（七）角速度坐标系变换与欧拉角转换

2023-11-06

        注意：角速度与角速度率有严格区别，反映在以下两点.

正交的三个角速度（角速度矢量）与欧拉角速率之间的关系如下，欧拉角速率并不是纯粹的正交矢量，而是一个与旋转顺序相关而且非正交的三个矢量，积分欧拉角速率得到的是欧拉角的大小，又称卡丹角。积分角速率的这种方法称之为欧拉角法。

                        \begin{bmatrix}\dot{\phi }\\ \dot{\theta }\\ \dot{\psi }\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & sin(\phi)tan(\theta) &cos(\phi)tan(\theta)\\0&cos(\phi) &-sin(\phi)\\ 0&sin(\phi)/cos(\theta)&cos(\phi)/cos(\theta)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\omega_x\\\omega_y\\\omega_z\end{bmatrix}

当三个姿态角都较小时，无限接近于0，上式直接得到：

                                        ​​​​​​​        \small \begin{bmatrix}\dot{\phi }\\ \dot{\theta }\\ \dot{\psi }\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 &0\\0&1 &0\\ 0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\omega_x\\\omega_y\\\omega_z\end{bmatrix}

此时，直接对三个角速度积分可得到对应的欧拉角，符合直观的观察结果。

欧拉角法的优缺点：

  • 优点：直观，求解欧拉角微分方程即可得到三个姿态角，且由欧拉角得到的姿态矩阵永远是正交阵
  • 缺点：当俯仰角为±90°，方程式出现“奇异点”，不能用在全姿态飞行器上
  • 欧拉角法较少用于姿态角更新

正交的三个角速度（角速度矢量）从直角坐标系A到直角坐标系B经三次欧拉角旋转而得到的新的正交的三个角速度（角速度矢量）

\begin{bmatrix}\omega_X\\\omega_Y\\\omega_Z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}cos(\alpha) &-sin(\alpha)&0\\sin(\alpha)&cos(\alpha)&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cos(\beta)&0&sin(\beta)\\0&1&0\\-sin(\beta)& 0&cos(\beta)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 &0&0\\0&cos(\gamma)&-sin(\gamma)\\0&sin(\gamma)&cos(\gamma)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\omega_x\\\omega_y\\\omega_z\end{bmatrix}

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INSGNSS组合导航

角速度

欧拉角

卡单角

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