导数
导数就是描述某个事物的变化速率。
举个最常见的例子,当人从某地移动到另一地点的时候,速度就是这个移动的导数,因为它描述了移动的变化速率;再继续看,加速度就是速度的导数,因为加速度描述了速度的变化速率。当加速度恒定的时候,我们可以想到,速度就是一条斜线,再进一步就能想到移动的距离是一个抛物线。
距离曲线
速度曲线
在数学中,先举一个简单的例子,比如
y=3x+5
y
=
3
x
+
5
这个函数,它的导数是
y′=3
y
′
=
3
(具体求导的方法不描述了),它描述了当x变化的时候,y的变化是3,可以试验一下,当x=1的时候,y=8,当x=2的时候,y=11,刚好增加了3。
稍微复杂一点的情况比如
y=x2
y
=
x
2
的导数是
y′=2x
y
′
=
2
x
,这个时候导数不再是常数,比之前的情况要稍微复杂一点,需要进行一定的理解:
x |
y=x2
y
=
x
2
|
y′=2x
y
′
=
2
x
|
1 |
1 |
2 |
2 |
4 |
4 |
3 |
9 |
6 |
可以看到并不是之前那样的直接相关了,这是因为此时的导数应该是个变化过程(也就是
ΔX
Δ
X
,x=2时导数的值,是指在x=2这个点上的变化速率,不是指变化到2过程中的变化速率),所以当x变化为2时,是x从1到2的过程,导数应该是求值应该是1到2的过程值(因为是这时的函数是线性的,所以粗暴的认为是均值)
(2+4)/2=3
(
2
+
4
)
/
2
=
3
,所以变化速率是3,同理可知2->3的变化速率是5。
偏导数
既然知道了导数的概念,那么偏导数是用来做什么的呢?
继续最开始跑步的例子,当时我们假设了一个完美的场景,那就是在没有任何其他因素的影响下。但是现实中是不可能出现这样的情况的,你的移动需要根据当时风速,穿的鞋子带来的阻力,你当时的体力等等,也许这是一个类似这样的函数
F=f(x,y,z,u,v)=x2+5y+4z3+2uv
F
=
f
(
x
,
y
,
z
,
u
,
v
)
=
x
2
+
5
y
+
4
z
3
+
2
u
v
,但我们仅仅想研究跑步速度带来的影响,所以我们假设其他的变量都是常数,也就是他们是恒定的或者是一些我们已知的数据,此时再来求导时导数就变为了
F′x=2x
F
x
′
=
2
x
,这就称为
F
F
在
(y,z,u,y) 处时关于
x
x
<script type="math/tex" id="MathJax-Element-58">x</script> 的偏导数