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微分中值定理定义及几何意义

2023-11-06

微分中值定理定义及几何意义

1 罗尔定理

如果函数f(x)满足
（1）在闭区间 [a,b]上连续
（2）在开区间(a,b)内可导
（3）f(a)=f(b）
则在（a,b）内至少有一点ε∈（a，b），使得f’(ε) = 0

罗尔定理的几何意义是：若在两端点纵坐标相等的连续曲线弧AB上，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，则曲线弧AB上至少有一点C的切线平行于x轴.
在这里插入图片描述

2 拉格朗日中值定理

如果函数f(x)满足
（1）在闭区间 [a,b]上连续
（2）在开区间(a,b)内可导
则在（a,b）内至少有一点ε∈（a，b），使得
f(b) - f(a) = f’(ε) (b-a）
或者改写为： f’(ε) = [f(b) - f(a)] / (b-a).

拉格朗日中值定理的几何意义是：如果连续曲线y=f(x)的弧AB上除端点外处处有不垂直于x轴的切线，则曲线弧AB上至少有一点C的切线平行于玄AB.
在这里插入图片描述

3柯西中值定理

如果函数f(x)，F(x)满足
（1）在闭区间 [a,b]上连续
（2）在开区间(a,b)内可导,且对任一x∈(a,b), F’(x) ≠ 0
则在（a,b）内至少有一点ε∈（a，b），使得
[f(b) - f(a)] / [ F(b) - F(a)] = f’(ε) / F’(ε)

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