机器人中每个连杆都可以用四个运行学参数来描述，其中两个描述连杆本身，另外两个用于描述连杆之间的连接关系。为了是问题简化，通常设定 Z ^ 0 {{\widehat{Z}}_{0}} Z 0沿关节轴1的方向，并且当关节变量1为0时，设定关节参考坐标系{0}和坐标系{1}重合，按照这个规定总会有 a 0 = 0.0 {{a}_{0}}=0.0 a0=0.0， α 0 = 0.0 {{\alpha }_{0}}=0.0 α0=0.0。另外当关节1为转动关节时， d 1 = 0.0 {{d}_{1}}=0.0 d1=0.0；当 关节1位移动关节时， θ 1 = 0.0 {{\theta}_{1}}=0.0 θ1=0.0 。
各个参数的定义
a i − 1 {{a}_{i-1}} ai−1=沿 X ^ i − 1 {{\widehat{X}}_{i-1}} X i−1轴，从 Z ^ i − 1 {{\widehat{Z}}_{i-1}} Z i−1轴移动到 Z ^ i {{\widehat{Z}}_{i}} Z i的距离；
α i − 1 {{\alpha }_{i-1}} αi−1=沿 X ^ i − 1 {{\widehat{X}}_{i-1}} X i−1轴，从 Z ^ i − 1 {{\widehat{Z}}_{i-1}} Z i−1轴旋转到 Z ^ i {{\widehat{Z}}_{i}} Z i的角度；
d i {{d}_{i}} di=沿 Z ^ i {{\widehat{Z}}_{i}} Z i轴，从 X ^ i − 1 {{\widehat{X}}_{i-1}} X i−1移动到 X ^ i {{\widehat{X}}_{i}} X i轴的距离；
θ i {{\theta }_{i}} θi=沿 Z ^ i {{\widehat{Z}}_{i}} Z i轴，从 X ^ i − 1 {{\widehat{X}}_{i-1}} X i−1旋转到 X ^ i {{\widehat{X}}_{i}} X i轴的角度。
例子：3R机械手的连杆参数
连杆两个关节轴用四个参数描述，那么每个参数可看成是坐标系的一次简单变换，从而推导出坐标系{i}相对于坐标系{i-1}的变换。
建立中间坐标系{R}，{Q}，{P}，把在坐标系{i}中定义的矢量变换为在坐标系{i-1}中的描述，对应的变换可以写成
i
−
1
P
=
R
i
−
1
T
Q
R
T
P
Q
T
i
P
T
i
P
(2-1)
^{i - 1}{\bf{P}} = _R^{i - 1}{\bf{T}}_Q^R{\bf{T}}_P^Q{\bf{T}}_i^P{\bf{T}}{}^i{\bf{P}} \tag{2-1}
i−1P=Ri−1TQRTPQTiPTiP(2-1)
变换矩阵为
i
i
−
1
T
=
R
i
T
Q
R
T
P
Q
T
i
P
T
(2-2)
^{i - 1} _i{\bf{T}} = {}_R^i{\bf{T}}{}_Q^R{\bf{T}}{}_P^Q{\bf{T}}{}_i^P{\bf{T}} \tag{2-2}
ii−1T=RiTQRTPQTiPT(2-2)
即
i
i
−
1
T
=
R
X
(
α
i
−
1
)
D
X
(
a
i
−
1
)
R
Z
(
θ
i
)
D
Z
(
d
i
)
(2-3)
{}^{i - 1}_i{\bf{T}} = {{\bf{R}}_X}({\alpha _{i - 1}}){{\bf{D}}_X}({a_{i - 1}}){{\bf{R}}_Z}({\theta _i}){{\bf{D}}_Z}({d_i}) \tag{2-3}
ii−1T=RX(αi−1)DX(ai−1)RZ(θi)DZ(di)(2-3)
计算得到
i
i
−
1
T
^{i-1}_{i}\mathbf{T}
ii−1T的一般表达式为
i
i
−
1
T
=
[
c
θ
i
−
s
θ
i
0
a
i
−
1
s
θ
i
c
α
i
−
1
c
θ
i
c
α
i
−
1
−
s
α
i
−
1
−
s
α
i
−
1
d
i
s
θ
i
s
α
i
−
1
c
θ
i
s
α
i
−
1
c
α
i
−
1
c
α
i
−
1
d
i
0
0
0
1
]
(2-4)
^{i - 1}_i{\bf{T}} = \left[ {\begin{matrix} {c{\theta _i}}&{ - s{\theta _i}}&0&{{a_{i - 1}}}\\ {s{\theta _i}c{\alpha _{i - 1}}}&{c{\theta _i}c{\alpha _{i - 1}}}&{ - s{\alpha _{i - 1}}}&{ - s{\alpha _{i - 1}}{d_i}}\\ {s{\theta _i}s{\alpha _{i - 1}}}&{c{\theta _i}s{\alpha _{i - 1}}}&{c{\alpha _{i - 1}}}&{c{\alpha _{i - 1}}{d_i}}\\ 0&0&0&1 \end{matrix}} \right] \tag{2-4}
ii−1T=⎣⎢⎢⎡cθisθicαi−1sθisαi−10−sθicθicαi−1cθisαi−100−sαi−1cαi−10ai−1−sαi−1dicαi−1di1⎦⎥⎥⎤(2-4)
连杆参数表如下：
| i i i | a i − 1 a_{i-1} ai−1 | α i − 1 {\alpha _{i - 1}} αi−1 | d i d_i di | θ i \theta_i θi |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 0 | θ 1 \theta_1 θ1 |
| 2 | 0 | -90 | 0 | θ 2 \theta_2 θ2 |
| 3 | a 2 a_2 a2 | 0 | d 3 d_3 d3 | θ 3 \theta_3 θ3 |
| 4 | a 3 a_3 a3 | -90 | d 4 d_4 d4 | θ 4 \theta_4 θ4 |
| 5 | 0 | 90 | 0 | θ 5 \theta_5 θ5 |
| 6 | 0 | -90 | 0 | θ 6 \theta_6 θ6 |
[1] JOHN J.CRAIG. 机器人学导论: 第3版[M]. 机械工业出版社, 2006.
