1.求一段曲线与x 轴和任一直线、曲线围成的图形和极坐标下曲线围成的图形面积(求一块平面区域的面积)
(1) x-型区域、 y-型区域介绍
极坐标：
设在平面直角坐标系上有一段曲线 y=f(x)>0,
a
≤
x
≤
b
a \leq x \leq b
a≤x≤b .我们在区间[a,b] 上取一个微元区间[x,x+dx] ,则此微段所对应的曲线与 x轴围成的微段矩形绕 轴旋转所形成的微元体是一个以dx 为高, f(x) 为底面半径的圆柱,如图9所示,则微元体积为
d
v
=
π
f
2
(
x
)
d
x
dv = πf^2(x)dx
dv=πf2(x)dx
将所有微元长度积分起来,即 V = ∫ a b d V = ∫ a b π f 2 ( x ) d x V=\int_{a}^{b}dV = \int_{a}^{b} πf^2(x)dx V=∫abdV=∫abπf2(x)dx
绕y轴体积
我们依然在区间 [a,b] 上取一个微元区间[x,x+dx] ,但是取不同的微元体积.我们想象曲线已经绕y 轴旋转形成了一个回转体,当我们在此回转体的一个横截面(不妨取 xOy 平面)上横坐标为 x的点取了dx 的微元变量,自然会在此平面上形成长度为 f(x) ,宽为 dx 的微元矩形(如图10所示),然后让此矩形也绕 y轴旋转形成一个有孔圆柱,所以我们就取微元体积为此有孔圆柱,则微元体积
d
V
=
π
[
(
x
+
d
x
)
2
−
x
2
]
f
(
x
)
=
π
[
(
2
x
+
d
x
)
d
x
]
f
(
x
)
dV = π[(x+dx)^2-x^2]f(x)=π[(2x+dx)dx]f(x)
dV=π[(x+dx)2−x2]f(x)=π[(2x+dx)dx]f(x) ，舍去含高阶无穷小
（
d
x
)
2
（dx)^2
（dx)2的项，
d
V
=
2
π
x
f
(
x
)
d
x
dV=2πxf(x)dx
dV=2πxf(x)dx, 将所有微元长度积分起来，即
V
=
∫
a
b
d
V
=
2
π
∫
a
b
x
f
(
x
)
d
x
V=\int_{a}^{b}dV = 2π\int_{a}^{b} xf(x)dx
V=∫abdV=2π∫abxf(x)dx
绕X 轴表面积
绕任意一条直线旋转所得体积
设在平面直角坐标系上有一段曲线 y=f(x),
a
≤
x
≤
b
a \leq x \leq b
a≤x≤b,以及一条直线 Ax+By+C=0 ,且曲线完全在直线的一侧,求曲线绕直线旋转一圈所得体积.
