【自控笔记】6.5 离散系统的稳定性分析
一、离散系统稳定的充要条件
线性连续系统的稳定的充要条件是特征方程的根全部位于左半s平面。在离散系统中，根据s平面与z平面之间的映射关系：
s
=
j
ω
,
z
=
e
j
ω
T
s=jω,z=e^{jωT}
s=jω,z=ejωT, 可以知道离散系统中的稳定域为以原点为圆心的单位原内。
二、劳斯稳定判据
在离散中，系统的稳定边界是单位圆边缘，而不是虚轴。因此，要使用劳斯判据进行系统稳定性判定，需要引入一种映射
z
=
w
+
1
w
−
1
z=\frac{w+1}{w-1}
z=w−1w+1，将单位圆内的区域映射到w平面的左半平面，这种变换称为双线性变换。
将特征式
D
(
z
)
D(z)
D(z)变换成
D
(
w
)
D(w)
D(w)就可以使用劳斯判据了。
三、离散系统的稳态误差分析
不同类型系统在不同输入下的稳态误差如下表所示：
其中，
K
p
=
lim
z
→
1
[
1
+
G
(
z
)
]
K_p=\underset{z\rightarrow 1}{\lim}\left[ 1+G\left( z \right) \right]
Kp=z→1lim[1+G(z)]
K
v
=
lim
z
→
1
[
(
z
−
1
)
G
(
z
)
]
K_v=\underset{z\rightarrow 1}{\lim}\left[ \left( z-1 \right) G\left( z \right) \right]
Kv=z→1lim[(z−1)G(z)]
K
a
=
lim
z
→
1
[
(
z
−
1
)
2
G
(
z
)
]
K_a=\underset{z\rightarrow 1}{\lim}\left[ \left( z-1 \right) ^2G\left( z \right) \right]
Ka=z→1lim[(z−1)2G(z)]
G
(
z
)
G(z)
G(z)为离散系统开环脉冲传递函数。
