Author : Benjamin142857
[TOC]
实虚部
P
l
u
r
a
l
:
z
=
x
+
i
y
R
e
a
l
:
x
=
R
e
z
I
m
a
g
i
n
a
r
y
:
y
=
I
m
z
Plural:\ \ \ z=x+iy \\ Real:\ \ \ x = Re\ z \\ Imaginary: \ \ \ y=Im\ z
Plural: z=x+iyReal: x=Re zImaginary: y=Im z
辐角
θ 0 \theta_0 θ0 : 唯一； − π < θ 0 < π -\pi < \theta_0 < \pi −π<θ0<π，
θ \theta θ : 无穷个； θ = θ 0 + 2 k π ( k ∈ Z ) \theta = \theta_0 + 2k\pi\ \ \ (k\in Z) θ=θ0+2kπ (k∈Z)
主辐角
θ
0
=
a
r
g
z
\theta_0 = arg\ z
θ0=arg z
辐角
θ
=
A
r
g
z
\theta = Arg\ z
θ=Arg z
复数运算满足交换律、结合律、分配律、以下是几种常用的快捷运算
(1.1) z 1 z 2 = ( x 1 x 2 − y 1 y 2 ) + i ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) z_1z_2 = (x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1)\tag{1.1} z1z2=(x1x2−y1y2)+i(x1y2+x2y1)(1.1)
(1.2) z 1 z 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 x 2 2 + y 2 2 + i x 2 y 1 − x 1 y 2 x 2 2 + y 2 2 \frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2} + i\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}\tag{1.2} z2z1=x22+y22x1x2+y1y2+ix22+y22x2y1−x1y2(1.2)
(1.3) z 1 ± z 2 ‾ = z 1 ‾ ± z 2 ‾ , z 1 z 2 ‾ = z 1 ‾ ⋅ z 2 ‾ , ( z 1 z 2 ) ‾ = z 1 ‾ z 2 ‾ \overline{z_1\pm z_2} =\overline{z_1} \pm \overline{z_2},\ \ \ \ \overline{z_1z_2} =\overline{z_1}·\overline{z_2},\ \ \ \ \overline{(\frac{z_1}{z_2})} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\tag{1.3} z1±z2=z1±z2, z1z2=z1⋅z2, (z2z1)=z2z1(1.3)
(1.4) z ⋅ z ‾ = ( R e z ) 2 + ( I m z ) 2 z·\overline{z} = (Re\ z)^2+(Im\ z)^2\tag{1.4} z⋅z=(Re z)2+(Im z)2(1.4)
三角表示式 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 指数表示式 : 欧拉公式
常规复数 - 表示式
(2.1)
z
=
x
+
i
y
z = x+iy\tag{2.1}
z=x+iy(2.1)
复平面点 - 表示式
(2.2)
z
=
(
x
,
y
)
z = (x, y)\tag{2.2}
z=(x,y)(2.2)
复平面向量 - 表示式
(2.3)
z
=
O
P
→
z = \overrightarrow{OP}\tag{2.3}
z=OP
(2.3)
三角 - 表示式
(2.4)
z
=
r
⋅
(
c
o
s
θ
+
i
s
i
n
θ
)
z = r·(cos\theta + isin\theta)\tag{2.4}
z=r⋅(cosθ+isinθ)(2.4)
指数 - 表示式
(2.5) z = r ⋅ e i θ z = r·e^{i\theta}\tag{2.5} z=r⋅eiθ(2.5)
复球面 - 表示法
N：北极 - 无穷远点
S：南极 - 复平面原点
Describe : 复平面一点 P P P 与 N N N 连线交于复球面的一点 Q Q Q ， Q Q Q的位置可完全表示复数信息
- O P OP OP 方向表示：作 O N ON ON 上一点 O ′ O' O′ 使得 O ′ Q / / O P O'Q // OP O′Q//OP， O ′ Q O'Q O′Q 方向即 O P OP OP 方向
- O P OP OP 大小表示： Q Q Q 离 N N N 越近越大，越远越小
z 1 = r 1 ( c o s θ 1 + i s i n θ 1 ) z_1 = r_1(cos\theta_1+isin\theta_1) z1=r1(cosθ1+isinθ1)
z 2 = r 2 ( c o s θ 2 + i s i n θ 2 ) z_2 = r_2(cos\theta_2+isin\theta_2) z2=r2(cosθ2+isinθ2)
乘幂
(3.1)
z
1
z
2
=
r
1
r
2
(
c
o
s
(
θ
1
+
θ
2
)
+
i
s
i
n
(
θ
1
+
θ
2
)
)
=
r
1
r
2
e
i
(
θ
1
+
θ
2
)
z_1z_2 = r_1r_2(cos(\theta_1 + \theta_2) + isin(\theta_1 + \theta_2))=r_1r_2e^{i(\theta_1 + \theta_2)}\tag{3.1}
z1z2=r1r2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2))=r1r2ei(θ1+θ2)(3.1)
(3.2) z n = r n [ c o s ( n θ ) + i s i n ( n θ ) ] = r n e i n θ z^n = r^n[cos(n\theta) +isin(n\theta)]=r^ne^{in\theta}\tag{3.2} zn=rn[cos(nθ)+isin(nθ)]=rneinθ(3.2)
DeMoivre (棣莫佛公式)
当 r = 1 r=1 r=1 时
(3.3) ( c o s θ + i s i n θ ) n = [ c o s ( n θ ) + i s i n ( n θ ) ] (cos\theta+isin\theta)^n=[cos(n\theta)+isin(n\theta)]\tag{3.3} (cosθ+isinθ)n=[cos(nθ)+isin(nθ)](3.3)
方根
(3.4)
z
1
z
2
=
r
1
r
2
(
c
o
s
(
θ
1
−
θ
2
)
+
i
s
i
n
(
θ
1
−
θ
2
)
)
=
r
1
r
2
e
i
(
θ
1
−
θ
2
)
\frac{z_1}{z_2} = r_1r_2(cos(\theta_1 - \theta_2) + isin(\theta_1 - \theta_2))=r_1r_2e^{i(\theta_1 - \theta_2)}\tag{3.4}
z2z1=r1r2(cos(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2))=r1r2ei(θ1−θ2)(3.4)
(3.5) z 1 n = r 1 n [ c o s ( θ + j ⋅ 2 π n ) + i s i n ( θ + j ⋅ 2 π n ) ] = r 1 n e i ( θ + j ⋅ 2 π n ) ( j = 0 , 1 , . . . , n − 1 ) z^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}}[cos(\frac{\theta+j·2\pi}{n})+isin(\frac{\theta+j·2\pi}{n})] = r^{\frac{1}{n}}e^{i(\frac{\theta+j·2\pi}{n})}\\ (j = 0,1,...,n-1)\tag{3.5} zn1=rn1[cos(nθ+j⋅2π)+isin(nθ+j⋅2π)]=rn1ei(nθ+j⋅2π)(j=0,1,...,n−1)(3.5)
- 主要内容
- 领域 + 去心领域
- 一些点 - [内点，外点，边界点，边界点集]
- 一些域 - [开集，连通，区域，闭域]
- 有界 + 无界
领域与去心领域
内点、外点、边界点、边界点集
内点： ∃ ρ > 0 → B ( z 0 , ρ ) ⊂ E \exists \rho>0 \ \ \ \rightarrow \ \ B(z_0, \rho)\subset E ∃ρ>0 → B(z0,ρ)⊂E
外点： ∃ ρ > 0 → B ( z 0 , ρ ) ∩ E = ∅ \exists \rho>0 \ \ \ \rightarrow \ \ B(z_0, \rho)\cap E = \varnothing ∃ρ>0 → B(z0,ρ)∩E=∅
边界点： ∀ ρ > 0 ， ∃ z 1 , z 2 ∈ B ( z 0 , ρ ) → z 1 ∈ E ， z 2 ∉ E \forall \rho>0 ，\exist z_1,z_2 \in B(z_0, \rho)\ \ \ \rightarrow \ \ z_1 \in E，z_2 \notin E ∀ρ>0，∃z1,z2∈B(z0,ρ) → z1∈E，z2∈/E
边界点集：KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\part' at position 1: \̲p̲a̲r̲t̲ ̲E
开集、连通、区域、闭域
开集：点集内所有点都是内点
连通： ∀ z 1 , z 2 ∈ E \forall z_1,z_2 \in E ∀z1,z2∈E， ∃ \exist ∃ 一条曲线 $ \rightarrow$ 能将 z 1 , z 2 z_1, z_2 z1,z2 连接起来
区域： D D D = [开集] + [连通]
闭域：KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\part' at position 18: …verline{D} = D+\̲p̲a̲r̲t̲ ̲D
有界、无界
- 主要内容
- 复平面 - 连续曲线
- 连续曲线 - 方向
- 闭合曲线 + 简单曲线
- Jordan曲线
- 光滑曲线 + 分段光滑曲线
- 单连通区域 + 多连通区域
复平面上的连续曲线
在 X O Y XOY XOY 复平面上，曲线 C C C 连续
(5.1) z = x ( t ) + i y ( t ) （ α ≤ t ≤ β ） z = x(t) + iy(t)\ \ \ \ （\alpha \leq t \leq \beta ）\tag{5.1} z=x(t)+iy(t) （α≤t≤β）(5.1)
其中， x ( t ) , y ( t ) x(t) , y(t) x(t),y(t) 是 [ α , β ] [\alpha, \beta] [α,β] 上连续的实值函数
复平面连续曲线的方向
闭合曲线与简单曲线
闭合曲线：z(起点）=z(终点）
简单曲线：曲线除起点和终点以外的其他位置不相交（起点终点可交可不交）
Jordan曲线
连续的简单闭曲线：[连续] + [闭合] + [简单]
Jordan曲线把复平面分为两个区域：内部有界，外部无界，曲线为公共边界
Jordan曲线的正方向为逆时针方向
光滑曲线与分段光滑曲线
若 z ( t ) = x ( t ) + i y ( t ) z(t) = x(t) + iy(t) z(t)=x(t)+iy(t) 是光滑曲线：
分段光滑光滑曲线：由几段光滑曲线依次相连
单连通域，多连通域
首先前提：点集是区域
单连通区域： D D D 内任何Jordan曲线的内部区域都包含于 D D D
多连通区域：不是单连通区域的区域
- 主要内容
- 复变函数 - 定义
- 复变函数 - 单值与多值
- 复变函数 - 二元实函数表示
- 复变函数 - 反函数
- 复变函数 - 极限存在性
- 复变函数 - 连续性
- 复变函数 - 连续性的相关定理
复变函数的定义
E E E 为复平面上的点集
z ∈ E z \in E z∈E， w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)
复变函数的单值与多值
单值复变函数： ∀ z ∈ E \forall z \in E ∀z∈E，存在唯一 f ( z ) f(z) f(z) 值与之对应
例： f ( z ) = ∣ z ∣ f(z) = |z| f(z)=∣z∣
多值复变函数 : ∃ z ∈ E \exist z \in E ∃z∈E， f ( z ) f(z) f(z) 有多个值
例： f ( z ) = A r g z f(z) = Arg\ z f(z)=Arg z
复变函数的二元实函数表示
z = x + i y z = x+iy z=x+iy 为复数
w = f ( z ) w=f(z) w=f(z) 为复数
w = f ( z ) w=f(z) w=f(z) 可写成实变量 x , y x, y x,y 的二元实函数组成的复数
(6.1) w = f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\tag{6.1} w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)(6.1)
复变函数的反函数
对于 w = f ( z ) w=f(z) w=f(z)
w w w 的值域（点集）： G = { w ∣ w = f ( z ) , z ∈ D } G = \{w|w=f(z),z\in D\} G={w∣w=f(z),z∈D}
若 D = { z ∣ z = φ ( w ) , w ∈ G } D = \{z|z=\varphi(w), w\in G\} D={z∣z=φ(w),w∈G}
则称 z = φ ( w ) z = \varphi(w) z=φ(w) 为 w = f ( z ) w = f(z) w=f(z) 的反函数
复变函数的极限
与高数中二元实函数极限思想类似
∀ ε > 0 \forall \varepsilon >0 ∀ε>0
∃ δ \exist\ \delta ∃ δ，当 0 < ∣ z − z 0 ∣ < δ 0<|z-z_0|<\delta 0<∣z−z0∣<δ 时
∣ f ( z ) − A ∣ < ε |f(z) - A|<\varepsilon ∣f(z)−A∣<ε
则 f ( z ) f(z) f(z) 在 z 0 z_0 z0 点的极限存在
(6.2) lim z → z 0 f ( z ) = A \lim_{z\rightarrow z_0} f(z) = A\tag{6.2} z→z0limf(z)=A(6.2)
证明该点极限不存在
证明该点极限存在
复变函数的连续性
复变函数在某点连续
在该点的领域内有定义，且该点极限存在
复变函数在某区域内连续
在该区域内没一点都连续
与复变函数连续性有关的几个定理
定理一
[复变的二元实函等价性]
设 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) f(z) = u(x, y) + iv(x, y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
⇓ \Downarrow ⇓
f ( z ) f(z) f(z) 在 z 0 = x 0 + i y 0 z_0=x_0 + iy_0 z0=x0+iy0 处连续 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ u ( x , y ) , v ( x , y ) u(x, y), v(x, y) u(x,y),v(x,y) 都在 ( x 0 , y 0 ) (x_0, y_0) (x0,y0) 处连续
定理二
[四则运算连续性]
设 f ( z ) , g ( z ) f(z),g(z) f(z),g(z) 都在 z 0 z_0 z0 处连续
⇓ \Downarrow ⇓
f ( z ) ± g ( z ) , f ( z ) g ( z ) , f ( z ) g ( z ) ( g ( z ) ≠ 0 ) f(z) \pm g(z),\ \ \ f(z)g(z), \ \ \ \frac{f(z)}{g(z)}(g(z) \neq 0) f(z)±g(z), f(z)g(z), g(z)f(z)(g(z)̸=0) 均在 z 0 z_0 z0 处连续
定理三
[复合连续性]
设 f ( z ) f(z) f(z) 在 z = z 0 z = z_0 z=z0 处连续，g(z) 在 z = f ( z 0 ) z = f(z_0) z=f(z0) 处连续
⇓ \Downarrow ⇓
g ( f ( z ) ) g(f(z)) g(f(z)) 在 z 0 z_0 z0 处连续
定理四
[连续有界性]
设曲线C连续，有限长
设 f ( z ) f(z) f(z) 在 z ∈ C z \in C z∈C 上连续
⇓ \Downarrow ⇓
∃ M > 0 \exist M >0 ∃M>0，当 z ∈ C z \in C z∈C 时， 有 ∣ z ∣ < M |z|<M ∣z∣<M
