最优解算法的讨论

不懂优化的人希望能有通用的方法来解决他手头的问题，但不幸的事没有这种方法存在，快速的方法都需要某些条件，比如常见的有强凸，线性，可分解啥的。目前研究的比较成熟的就是强凸光源可分解

 

非凸没有特别有效的方法来解，如果是强凸的，何必用那么复杂的方法求最优解？正是因为不是强凸的，才用到优化方法。就算是凸的，也分好几种不同的情况，只用一阶梯度，达到牛顿梯度法的收敛速度，在convex问题中，还有non-smooth的函数，也是不好解的。

 

 

算法论中的动态规划，贪心算法等等是基本的理论。实际中采用的往往需要和计算方法相结合。下面几种是可以通过工具直接实现的最优解算法.

 

爬山算法：爬山算法是一种简单的贪心搜索算法，是对深度优先搜索的一种改进，利用反馈信息帮助生成解的决策，属于人工智能算法的一种。

采用启发式方法，局部择优，每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解，替换为当前解，直到达到一个局部最优解。

缺点：因为不是全面搜索，所以结果可能不是最佳。　　

爬山算法一般存在以下问题：　　

1）、局部最大：某个节点比周围任何一个邻居都高，但是它却不是整个问题的最高点。　　

2）、高地：也称为平顶，搜索一旦到达高地，就无法确定搜索最佳方向，会产生随机走动，使得搜索效率降低。　　

3）、山脊：搜索可能会在山脊的两面来回震荡，前进步伐很小。

 

算法过程：从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。 如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(既山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点来，替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。如此循环直到达到最高点。

优点：避免遍历，通过启发选择部分节点，从而达到提高效率的目的。　

    爬山算法实现很简单，其主要缺点是会陷入局部最优解，而不一定能搜索到全局最优解。如图1所示：假设C点为当前解，爬山算法搜索到A点这个局部最优解就会停止搜索，因为在A点无论向那个方向小幅度移动都不能得到更优的解。

 

 

模拟退火算法：

模拟退火其实也是一种贪心算法，但是它的搜索过程引入了随机因素。模拟退火算法以一定的概率来接受一个比当前解要差的解，因此有可能会跳出这个局部的最优解，达到全局的最优解。以图1为例，模拟退火算法在搜索到局部最优解A后，会以一定的概率接受到E的移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达D点，于是就跳出了局部最大值A。

模拟退火算法描述：

          若J( Y(i+1) )>= J(Y(i) )  (即移动后得到更优解)，则总是接受该移动

          若J( Y(i+1) )< J(Y(i) )  (即移动后的解比当前解要差)，则以一定的概率接受移动，而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）

这里的“一定的概率”的计算参考了金属冶炼的退火过程，这也是模拟退火算法名称的由来。

 　　根据热力学的原理，在温度为T时，出现能量差为dE的降温的概率为P(dE)，表示为：

 　　　　P(dE) =exp( dE/(kT) )

　　其中k是一个常数，exp表示自然指数，且dE<0。这条公式说白了就是：温度越高，出现一次能量差为dE的降温的概率就越大；温度越低，则出现降温的概率就越小。又由于dE总是小于0（否则就不叫退火了），因此dE/kT < 0 ，所以P(dE)的函数取值范围是(0,1) 。

　　随着温度T的降低，P(dE)会逐渐降低。

　　我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程，我们以概率P(dE)来接受这样的移动。

　　关于爬山算法与模拟退火，有一个有趣的比喻：

　　爬山算法：兔子朝着比现在高的地方跳去。它找到了不远处的最高山峰。但是这座山不一定是珠穆朗玛峰。这就是爬山算法，它不能保证局部最优值就是全局最优值。

　　模拟退火：兔子喝醉了。它随机地跳了很长时间。这期间，它可能走向高处，也可能踏入平地。但是，它渐渐清醒了并朝最高方向跳去。这就是模拟退火。

 

遗传算法 ( GA , Genetic Algorithm )

也称进化算法。遗传算法是受达尔文的进化论的启发，借鉴生物进化过程而提出的一种启发式搜索算法。因此在介绍遗传算法前有必要简单的介绍生物进化知识。

算法思想

 　借鉴生物进化论，遗传算法将要解决的问题模拟成一个生物进化的过程，通过复制、交叉、突变等操作产生下一代的解，并逐步淘汰掉适应度函数值低的解，增加适应度函数值高的解。这样进化N代后就很有可能会进化出适应度函数值很高的个体。

 　举个例子，使用遗传算法解决“0-1背包问题”的思路：0-1背包的解可以编码为一串0-1字符串（0：不取，1：取）；首先，随机产生M个0-1字符串，然后评价这些0-1字符串作为0-1背包问题的解的优劣；然后，随机选择一些字符串通过交叉、突变等操作产生下一代的M个字符串，而且较优的解被选中的概率要比较高。这样经过G代的进化后就可能会产生出0-1背包问题的一个“近似最优解”。

　编码：需要将问题的解编码成字符串的形式才能使用遗传算法。最简单的一种编码方式是二进制编码，即将问题的解编码成二进制位数组的形式。例如，问题的解是整数，那么可以将其编码成二进制位数组的形式。将0-1字符串作为0-1背包问题的解就属于二进制编码。

 　 遗传算法有3个最基本的操作：选择，交叉，变异。（三个操作的具体方法参见相关论文）

基本遗传算法优化

 　 下面的方法可优化遗传算法的性能。

  　精英主义(Elitist Strategy)选择：是基本遗传算法的一种优化。为了防止进化过程中产生的最优解被交叉和变异所破坏，可以将每一代中的最优解原封不动的复制到下一代中。

  　插入操作：可在3个基本操作的基础上增加一个插入操作。插入操作将染色体中的某个随机的片段移位到另一个随机的位置。

 

蚁群算法:

蚁群算法(ant colony optimization, ACO)，又称蚂蚁算法，一种用来在图中寻找优化路径的机率型算法。Marco Dorigo于1992年在他的博士论文中提出，其灵感来源于蚂蚁在寻找食物过程中发现路径的行为。蚁群算法是一种模拟进化算法,初步的研究表明该算法具有许多优良的性质.针对PID控制器参数优化设计问题,将蚁群算法设计的结果与遗传算法设计的结果进行了比较,数值仿真结果表明,蚁群算法具有一种新的模拟进化优化方法的有效性和应用价值。

 

人工萤火虫算法:

 

Nesterov method：