假设
u
a
=
U
m
c
o
s
ω
t
u_a=U_mcos\omega t
ua=Umcosωt,
u
b
=
U
m
c
o
s
(
ω
t
−
12
0
∘
)
u_b=U_mcos(\omega t-120^\circ)
ub=Umcos(ωt−120∘),
u
c
=
U
m
c
o
s
(
ω
t
+
12
0
∘
)
u_c=U_mcos(\omega t+120^\circ)
uc=Umcos(ωt+120∘)。经过Clark变换后的结果是
u
α
=
U
m
c
o
s
ω
t
u_\alpha=U_mcos\omega t
uα=Umcosωt,
u
β
=
U
m
s
i
n
ω
t
u_\beta=U_msin\omega t
uβ=Umsinωt。 根据变换前后的表达式，我们能够得到三相系统中Clark逆变换的表达式：
[
u
a
u
b
u
c
]
=
[
1
0
−
1
2
(
3
)
2
−
1
2
−
(
3
)
2
]
[
u
α
u
β
]
\begin{bmatrix} u_a\\u_b\\u_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt(3)}{2} \\ -\frac{1}{2} & - \frac{\sqrt(3)}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_\alpha\\u_\beta \end{bmatrix}
⎣⎡uaubuc⎦⎤=⎣⎢⎡1−21−2102(3)−2(3)⎦⎥⎤[uαuβ] 将该表达式反着写，便得到了我们熟知的Clark变换表达式：
[
u
α
u
β
]
=
2
3
[
1
−
1
2
−
1
2
0
(
3
)
2
−
(
3
)
2
]
[
u
a
u
b
u
c
]
\begin{bmatrix} u_\alpha\\u_\beta \end{bmatrix} = \frac{2}{3} \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt(3)}{2} & - \frac{\sqrt(3)}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_a\\u_b\\u_c \end{bmatrix}
[uαuβ]=32[10−212(3)−21−2(3)]⎣⎡uaubuc⎦⎤
2.2 单相系统
借鉴三相系统的思想，假设
u
a
=
U
m
c
o
s
ω
t
u_a=U_mcos\omega t
ua=Umcosωt， 经过Clark变换后的结果是
u
α
=
U
m
c
o
s
ω
t
u_\alpha=U_mcos\omega t
uα=Umcosωt,
u
β
=
U
m
s
i
n
ω
t
u_\beta=U_msin\omega t
uβ=Umsinωt。由于单相只有一个物理量，所以我们虚拟一个滞后于
u
a
u_a
ua 90度的物理量
u
a
1
=
U
m
s
i
n
ω
t
u_{a1}=U_msin\omega t
ua1=Umsinωt。根据变换前后的表达式，我们能够得到三相系统中Clark逆变换的表达式：
[
u
a
u
a
1
]
=
[
1
0
0
1
]
[
u
α
u
β
]
\begin{bmatrix} u_a\\u_{a1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_\alpha\\u_\beta \end{bmatrix}
[uaua1]=[1001][uαuβ] 将该表达式反着写，便得到了单相系统的Clark变换表达式：
[
u
α
u
β
]
=
[
1
0
0
1
]
[
u
a
u
a
1
]
\begin{bmatrix} u_\alpha\\u_\beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_a\\u_{a1} \end{bmatrix}
[uαuβ]=[1001][uaua1] 如果设定
u
a
1
=
−
U
m
s
i
n
ω
t
u_{a1}=-U_msin\omega t
ua1=−Umsinωt，相应地修改矩阵即可。
3. Park变换
3.1 三相系统
假设
u
a
=
U
d
s
i
n
ω
t
+
U
q
c
o
s
ω
t
u_a=U_dsin\omega t + U_qcos\omega t
ua=Udsinωt+Uqcosωt,
u
b
=
U
d
s
i
n
(
ω
t
−
12
0
∘
)
+
U
q
c
o
s
(
ω
t
−
12
0
∘
)
u_b=U_dsin(\omega t-120^\circ) + U_qcos(\omega t-120^\circ)
ub=Udsin(ωt−120∘)+Uqcos(ωt−120∘),
u
c
=
U
d
s
i
n
(
ω
t
+
12
0
∘
)
+
U
q
c
o
s
(
ω
t
+
12
0
∘
)
u_c=U_dsin(\omega t+120^\circ) + U_qcos(\omega t+120^\circ)
uc=Udsin(ωt+120∘)+Uqcos(ωt+120∘)。经过Park变换后的结果是
u
α
=
U
d
u_\alpha=U_d
uα=Ud,
u
β
=
U
q
u_\beta=U_q
uβ=Uq。 根据变换前后的表达式，我们能够得到三相系统中Park逆变换的表达式：
[
u
a
u
b
u
c
]
=
[
s
i
n
w
t
c
o
s
w
t
s
i
n
(
w
t
−
12
0
∘
)
c
o
s
(
w
t
−
12
0
∘
)
s
i
n
(
w
t
+
12
0
∘
)
c
o
s
(
w
t
+
12
0
∘
)
]
[
u
d
u
q
]
\begin{bmatrix} u_a\\u_b\\u_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} sinwt & coswt \\ sin(wt-120^\circ) & cos(wt-120^\circ) \\ sin(wt+120^\circ) & cos(wt+120^\circ) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_d\\u_q \end{bmatrix}
⎣⎡uaubuc⎦⎤=⎣⎡sinwtsin(wt−120∘)sin(wt+120∘)coswtcos(wt−120∘)cos(wt+120∘)⎦⎤[uduq] 将该表达式反着写，便得到了我们熟知的Plark变换表达式：
[
u
d
u
q
]
=
2
3
[
s
i
n
w
t
s
i
n
(
w
t
−
12
0
∘
)
s
i
n
(
w
t
+
12
0
∘
)
c
o
s
w
t
c
o
s
(
w
t
−
12
0
∘
)
c
o
s
(
w
t
+
12
0
∘
)
]
[
u
a
u
b
u
c
]
\begin{bmatrix} u_d\\u_q \end{bmatrix} = \frac{2}{3} \begin{bmatrix} sinwt & sin(wt-120^\circ) & sin(wt+120^\circ) \\ coswt & cos(wt-120^\circ) & cos(wt+120^\circ) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_a\\u_b\\u_c \end{bmatrix}
[uduq]=32[sinwtcoswtsin(wt−120∘)cos(wt−120∘)sin(wt+120∘)cos(wt+120∘)]⎣⎡uaubuc⎦⎤
3.2 单相系统
借鉴三相系统的思想，假设
u
a
=
U
d
s
i
n
ω
t
+
U
q
c
o
s
ω
t
u_a=U_dsin\omega t + U_qcos\omega t
ua=Udsinωt+Uqcosωt， 经过Park变换后的结果是
u
α
=
U
d
u_\alpha=U_d
uα=Ud,
u
β
=
U
q
u_\beta=U_q
uβ=Uq。由于单相只有一个物理量，所以我们虚拟一个滞后于
u
a
u_a
ua 90度的物理量
u
a
1
=
U
d
s
i
n
(
ω
t
−
9
0
∘
)
+
U
q
c
o
s
(
ω
t
−
9
0
∘
)
u_{a1}=U_dsin(\omega t-90^\circ)+U_qcos(\omega t-90^\circ)
ua1=Udsin(ωt−90∘)+Uqcos(ωt−90∘)。根据变换前后的表达式，我们能够得到三相系统中Park逆变换的表达式：
[
u
a
u
a
1
]
=
[
s
i
n
w
t
c
o
s
w
t
−
c
o
s
w
t
s
i
n
w
t
]
[
u
d
u
q
]
\begin{bmatrix} u_a\\u_{a1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} sinwt & coswt \\ -coswt & sinwt \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_d\\u_q \end{bmatrix}
[uaua1]=[sinwt−coswtcoswtsinwt][uduq] 将该表达式反着写，便得到了单相系统的Park变换表达式：
[
u
d
u
q
]
=
[
s
i
n
w
t
−
c
o
s
w
t
c
o
s
w
t
s
i
n
w
t
]
[
u
a
u
a
1
]
\begin{bmatrix} u_d\\u_q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} sinwt & -coswt \\ coswt & sinwt \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_a\\u_{a1} \end{bmatrix}
[uduq]=[sinwtcoswt−coswtsinwt][uaua1] 如果设定
u
a
1
u_{a1}
ua1超前
u
a
u_a
ua 90度，相应地修改矩阵即可。
