01背包问题，是用来介绍动态规划算法最经典的例子，网上关于01背包问题的讲解也很多，我写这篇文章力争做到用最简单的方式，最少的公式把01背包问题讲解透彻。
01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }
f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。
Pi表示第i件物品的价值。
决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗 ？
题目描述：
假设山洞里共有a,b,c,d ,e这5件宝物（不是5种宝物），它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包, 怎么装背包，可以才能带走最多的财富。
有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？
| name |
weight |
value |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
| a |
2 |
6 |
0 |
6 |
6 |
9 |
9 |
12 |
12 |
15 |
15 |
15 |
| b |
2 |
3 |
0 |
3 |
3 |
6 |
6 |
9 |
9 |
9 |
10 |
11 |
| c |
6 |
5 |
0 |
0 |
0 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
10 |
11 |
| d |
5 |
4 |
0 |
0 |
0 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
10 |
10 |
| e |
4 |
6 |
0 |
0 |
0 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。
首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的。
为了叙述方便，用e2单元格表示e行2列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为2的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，背包装不了。
对于d2单元格，表示只有物品e，d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值，仍然是0，因为物品e,d都不是这个背包能装的。
同理，c2=0，b2=3,a2=6。
对于承重为8的背包，a8=15,是怎么得出的呢？
根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值，
一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi；
在这里，
f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包，当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值
f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的背包（等于当前背包承重减去物品a的重量），当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值
f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9，Pi指的是a物品的价值，即6
由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9，所以物品a应该放入承重为8的背包
以下是actionscript3 的代码
public function get01PackageAnswer(bagItems:Array,bagSize:int):Array
{
var bagMatrix:Array=[];
var i:int;
var item:PackageItem;
for(i=0;i<bagItems.length;i++)
{
bagMatrix[i] = [0];
}
for(i=1;i<=bagSize;i++)
{
for(var j:int=0;j<bagItems.length;j++)
{
item = bagItems[j] as PackageItem;
if(item.weight > i)
{
//i背包转不下item
if(j==0)
{
bagMatrix[j][i] = 0;
}
else
{
bagMatrix[j][i]=bagMatrix[j-1][i];
}
}
else
{
//将item装入背包后的价值总和
var itemInBag:int;
if(j==0)
{
bagMatrix[j][i] = item.value;
continue;
}
else
{
itemInBag = bagMatrix[j-1][i-item.weight]+item.value;
}
bagMatrix[j][i] = (bagMatrix[j-1][i] > itemInBag ? bagMatrix[j-1][i] : itemInBag)
}
}
}
//find answer
var answers:Array=[];
var curSize:int = bagSize;
for(i=bagItems.length-1;i>=0;i--)
{
item = bagItems[i] as PackageItem;
if(curSize==0)
{
break;
}
if(i==0 && curSize > 0)
{
answers.push(item.name);
break;
}
if(bagMatrix[i][curSize]-bagMatrix[i-1][curSize-item.weight]==item.value)
{
answers.push(item.name);
curSize -= item.weight;
}
}
return answers;
}
PackageItem类
public class PackageItem
{
public var name:String;
public var weight:int;
public var value:int;
public function PackageItem(name:String,weight:int,value:int)
{
this.name = name;
this.weight = weight;
this.value = value;
}
}
测试代码
var nameArr:Array=['a','b','c','d','e'];
var weightArr:Array=[2,2,6,5,4];
var valueArr:Array=[6,3,5,4,6];
var bagItems:Array=[];
for(var i:int=0;i<nameArr.length;i++)
{
var bagItem:PackageItem = new PackageItem(nameArr[i],weightArr[i],valueArr[i]);
bagItems[i]=bagItem;
}
var arr:Array = ac.get01PackageAnswer(bagItems,10);
