import torch
from IPython import display
from d2l import torch as d2l
batch_size = 256 # batch_size 设为256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size) # 仍使用 Fashion-MNIST 数据集
num_inputs = 784 # 本节暂不利用图像空间结构的特征，直接将 28 像素* 28 像素的图像直接展开长度为 784 的向量
num_outputs = 10
W = torch.normal(0, 0.01, size=(num_inputs, num_outputs), requires_grad=True) # 仍使用正态分布初始化权重
b = torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True) # 偏置初始化为0
X = torch.tensor([[1., 2., 3.], [4., 5.,6.]])
X.sum(0, keepdim=True), X.sum(1, keepdim=True) # 非降维求和 参见2.3.6
(tensor([[5., 7., 9.]]),
tensor([[ 6.],
[15.]]))
softmax 表达式为：
s
o
f
t
m
a
x
(
X
)
i
j
=
exp
(
X
i
j
)
∑
k
exp
(
X
i
k
)
\mathrm{softmax}(\boldsymbol{X})_{ij}=\frac{\exp(\boldsymbol{X}_{ij})}{\sum_k\exp(\boldsymbol{X}_{ik})}
softmax(X)ij=∑kexp(Xik)exp(Xij)
实现 softmax 由以下 3 个步骤组成：
# 需要注意的是，此处的实现是比较草率的，例如没有考虑到小浮点数的上溢或下溢。
def softmax(X):
X_exp = torch.exp(X)
partition = X_exp.sum(1, keepdim=True)
return X_exp / partition # 此处利用了广播机制
X = torch.normal(0, 1, (2, 5))
X_prob = softmax(X)
X_prob, X_prob.sum(1) # 可以看到 softmax 把所有元素转变为非负数且总和为1
(tensor([[0.2964, 0.0195, 0.1694, 0.0586, 0.4561],
[0.1822, 0.5175, 0.0971, 0.1586, 0.0446]]),
tensor([1.0000, 1.0000]))
def net(X):
return softmax(torch.matmul(X.reshape((-1, W.shape[0])), W) + b) # 如 3.6.1 所述，此处将图像展平
此处使用分类问题常用的交叉熵损失函数，如 3.4.6 所讲，交叉熵采用实际标签的预测概率的负对数似然。此处不使用低效的 for 循环，而是通过一个运算符选择所有元素。
# 举个栗子
y = torch.tensor([0, 2]) # 标签
y_hat = torch.tensor([[0.1, 0.3, 0.6], [0.3, 0.2, 0.5]]) # 预测概率
y_hat[[0, 1], y] # 相当于 torch.tensor([y_hat[0][0], y_hat[1][2]])
tensor([0.1000, 0.5000])
def cross_entropy(y_hat, y): # 一行即可实现
return -torch.log(y_hat[range(len(y_hat)), y])
分类精度即正确预测数占预测总数之比。因精度计算不可导，故直接优化精度很困难，但是精度依然是衡量预测性能的关键度量。
def accuracy(y_hat, y): #@save
"""计算预测正确的数量"""
if len(y_hat.shape) > 1 and y_hat.shape[1] > 1:
y_hat = y_hat.argmax(axis=1) # 获取每行最大值的下标，即预测结果
cmp = y_hat.type(y.dtype) == y # 将预测值转换为和 y 一样的数据类型再进行比较
return float(cmp.type(y.dtype).sum())
accuracy(y_hat, y) / len(y) # 尝试计算分类精度
0.5
class Accumulator: #@save
"""在n个变量上累加"""
def __init__(self, n):
self.data = [0.0] * n # 初始化一个长度为 n 的全 0 列表
def add(self, *args): # 未知个数参数作为元组传入
self.data = [a + float(b) for a, b in zip(self.data, args)] # 打包为一个元组以方便循环相加，将结果组成一个新列表
def reset(self):
self.data = [0.0] * len(self.data)
def __getitem__(self, idx):
return self.data[idx]
def evaluate_accuracy(net, data_iter): #@save
"""计算在指定数据集上模型的精度"""
if isinstance(net, torch.nn.Module):
net.eval() # 将模型设置为评估模式
metric = Accumulator(2) # 正确预测数、预测总数
with torch.no_grad():
for X, y in data_iter:
metric.add(accuracy(net(X), y), y.numel()) # 累加预测正确数及总数
return metric[0] / metric[1]
evaluate_accuracy(net, test_iter) # 由于我们使用的使随即权重初始化 net 模型，因此效果接近随机猜测，故精度接近 0.1
0.0159
def train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater): #@save
"""训练模型一个迭代周期（定义见第3章）"""
# 将模型设置为训练模式
if isinstance(net, torch.nn.Module):
net.train()
# 训练损失总和、训练准确度总和、样本数
metric = Accumulator(3)
for X, y in train_iter:
# 计算梯度并更新参数
y_hat = net(X)
l = loss(y_hat, y)
if isinstance(updater, torch.optim.Optimizer):
# 使用PyTorch内置的优化器和损失函数
updater.zero_grad()
l.mean().backward()
updater.step()
else:
# 使用定制的优化器和损失函数
l.sum().backward()
updater(X.shape[0])
metric.add(float(l.sum()), accuracy(y_hat, y), y.numel())
# 返回训练损失和训练精度
return metric[0] / metric[2], metric[1] / metric[2]
class Animator: #@save
"""在动画中绘制数据"""
def __init__(self, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), nrows=1, ncols=1,
figsize=(3.5, 2.5)):
# 增量地绘制多条线
if legend is None:
legend = []
d2l.use_svg_display()
self.fig, self.axes = d2l.plt.subplots(nrows, ncols, figsize=figsize)
if nrows * ncols == 1:
self.axes = [self.axes, ]
# 使用lambda函数捕获参数
self.config_axes = lambda: d2l.set_axes(
self.axes[0], xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)
self.X, self.Y, self.fmts = None, None, fmts
def add(self, x, y):
# 向图表中添加多个数据点
if not hasattr(y, "__len__"):
y = [y]
n = len(y)
if not hasattr(x, "__len__"):
x = [x] * n
if not self.X:
self.X = [[] for _ in range(n)]
if not self.Y:
self.Y = [[] for _ in range(n)]
for i, (a, b) in enumerate(zip(x, y)):
if a is not None and b is not None:
self.X[i].append(a)
self.Y[i].append(b)
self.axes[0].cla()
for x, y, fmt in zip(self.X, self.Y, self.fmts):
self.axes[0].plot(x, y, fmt)
self.config_axes()
display.display(self.fig)
display.clear_output(wait=True)
def train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, updater): #@save
"""训练模型（定义见第3章）"""
animator = Animator(xlabel='epoch', xlim=[1, num_epochs], ylim=[0.3, 0.9],
legend=['train loss', 'train acc', 'test acc']) # 用于对训练进度进行可视化
for epoch in range(num_epochs): # 进行 num_epochs 轮训练
train_metrics = train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater) # 每轮访问一个训练集训练出一个模型
test_acc = evaluate_accuracy(net, test_iter) # 每轮结束时使用测试集对模型进行评估
animator.add(epoch + 1, train_metrics + (test_acc,))
train_loss, train_acc = train_metrics
# 方便调试，用来抛 AssertionError
assert train_loss < 0.5, train_loss
assert train_acc <= 1 and train_acc > 0.7, train_acc
assert test_acc <= 1 and test_acc > 0.7, test_acc
lr = 0.1 # 设置学习率为 0.1
def updater(batch_size): # 使用 3.2.6 定义的 sgd 小批量随机梯度下降作为优化函数
return d2l.sgd([W, b], lr, batch_size)
num_epochs = 10 # 进行十轮训练
train_ch3(net, train_iter, test_iter, cross_entropy, num_epochs, updater)
def predict_ch3(net, test_iter, n=6): #@save
"""预测标签（定义见第3章）"""
for X, y in test_iter:
break
trues = d2l.get_fashion_mnist_labels(y)
preds = d2l.get_fashion_mnist_labels(net(X).argmax(axis=1))
titles = [true +'\n' + pred for true, pred in zip(trues, preds)]
d2l.show_images(
X[0:n].reshape((n, 28, 28)), 1, n, titles=titles[0:n])
predict_ch3(net, test_iter)
（1）本节直接实现了基于数学定义 softmax 运算的 softmax 函数。这可能会导致什么问题？（提示：尝试计算 exp(50) 的大小。）
torch.exp(torch.tensor(100)) # 50 还不够，得试 100，直接报无穷大
tensor(inf)
（2）本节中的 cross_entropy 函数是根据交叉熵损失函数定义实现的。它可能有什么问题？（提示：考虑对数的定义域）
对数的定义域是 ( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) (0,+∞)，y_hat 预测值（即某行最大的值也接近0的话）接近0的话也可能会溢出。
（3）请提出一个解决方案解决上述两个问题。
使用 log_softmax，不仅可以解决溢出问题，还能加快运算速度。
（4）返回概率最大的分类标签总是最优解吗？例如，在医疗诊断的场景下可以这样做吗？
不总是最优解。毕竟小概率事件也可能发生，特别是在医疗诊断场景。
（5）假设我们使用 softmax 回归来预测下一个单词，可选取的单词数过多可能会带来哪些问题？
概率会过度分散，各个单词概率差不多，预测没有意义。